大概在去年，朋友问过过我这个问题。

方案比较简单：

首先，第一天出来的人，担当“计数者”，它把灯开起来(原来开着就不必动了)

然后每天出来一个囚犯。

如果他不是“计数者”，并且没有关过灯， 并且灯开着， 那么就把灯关了。

如果他是“计数者”， 如果灯关了， 就把他开起来(计数+1)。 当然如果灯被关了99次， 那么就去和国王说吧。

但显然也是一个概论问题， 因为每次出来的囚犯随机，

现在问题是， 如果采用这个方案， 大概他们多久可以出来？

先不忙着用数学进行计算， 我们用程序统计平均天数：

首先， 进行一次实验的天数是这样的：

public static int escapeDays() {

Random rand = new Random();

int days = 1;// 第一天

int counter = rand.nextInt(100); // 出来一个 计数者

boolean light = true; // 开灯

List list = new ArrayList();// 计数者知道关灯的次数 为 list.size()

while (true) {

days++; // 又过了一天

int prison = rand.nextInt(100); // 出来一个囚犯

if (prison == counter) { // 如果是计数者

if (list.size() == 99) { // 成功啦

break;

}

if (!light) { // 灯关了，就把它开起来

light = true;

}

} else {

if (light && !list.contains(prison)) {// 如果没有关过灯，并且灯开着

light = false; // 就把它关了

list.add(prison);

}

}

}

return days;

}

然后我们让实验进行一万次。

public static void main(String[] args) {

int times = 10000; // 统计平均天数, 我们把这个实验做一万次

int days = 0;

for (int i = 0; i < times; i++) {

days += escapeDays();

}

System.out.println("平均需要的天数：" + days / times);

}

在我的电脑上输出：

平均需要的天数：10428

差不多是  28 ~ 29 年时间。超过无期徒刑了， 国王还真会玩, 要是被囚犯们知道， 直接撞墙自杀了。

让我们再用数学去计算一下：

首先，第一天出来的是“计数者”， 这是一个必然事件， 没啥好说的。

从第二天开始， 我们要完成以下过程 99 次

出来一个新的囚犯， 然后等待“计数者”出来把灯开起来。

第一次出来新的囚犯的概率是： 99 / 100 --- 除去计数者， 其他任何囚犯出来都满足要求

完成这一步的平均时间是 100 / 99  天

完成上面这个过程后，接着要求“计数者”出来，开灯。 这个概率是 1 / 100

完成这一步的平均时间是 100 天

第二次， 新囚犯出来的概率是 98 / 100

完成这一步的平均时间是 100 / 98

计数者出来的率还是 1 / 100

完成这一步的平均时间还是 100 天

...

第99次， 新囚犯出来的概率是 1 / 100 (只有一个囚犯没有出来了)

计数者出来的率还是 1 / 100

然后我们把时间加起来:

100 / 99 + 100 + 100 / 98 + 100 + ... 100 / 1 + 100

=  100 * 99 + 100 * (1 / 99 + 1 / 98 + 1 / 97 + ... + 1)

=  9900 + 100 * (1 + 1 / 2 + 1 / 3 + ... 1 / 99)

呼呼， 上面 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + ... 1 / 99 这是一个调和级数 大概等于 ln 99 + 1 ，

当然可以用程序 很容易求得 值为: 5.177

所以上述值为： 10417

和上面程序测试10000次的值吻合！