入门机器学习(三)--课后作业解析-线性回归(Python实现)
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1. 单变量线性回归
在本练习的这一部分中, 您将使用一个变量实现线性回归, 以预测食品卡车的道具。假设你是一个餐厅的CEO, 并正在考虑开放一个在不同城市的新的网点。该连锁企业已经在各个城市拥有卡车, 你有来自城市的道具和人口的数据(ex1data1.txt)。你需要使用这些数据来帮助你选择哪座城市去扩展。这个文件包含了线性回归问题的数据集。第一列是一个城市的人口,第二列该城市的食品卡车的利润。负值代表负利润,正直代表正利润。下面是相关的Python代码
导入需要使用的包
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
导入数据集。提醒大家:一定要把数据文件ex1data1.txt放在和程序同一个文件夹里,否则需要使用绝对路径访问文件
path = 'ex1data1.txt'
data = pd.read_csv(path, header=None, names=['Population', 'Profit'])
data.head() #预览数据
运行结果为:
注意:data.head()在没有传入参数的时候,默认显示前五位数据。
描述数据
data.describe()
运行结果为:
数据可视化,绘制散点图
data.plot(kind='scatter', x='Population', y='Profit', figsize=(12,8))
plt.show()
运行结果为:
现在让我们使用梯度下降来实现线性回归,以最小化成本函数。首先,我们将创建一个以参数θ为特征函数的代价函数:
其中
根据以上公式,计算代价函数为:
def computeCost(X, y, theta):temp = np.dot(X, theta.T)-yresult = [[temp[i][j]**2 for j in range(len(temp[i]))] for i in range(len(temp))]return np.sum(result)/(2*len(temp))
让我们在训练集中添加一列,以便我们可以使用向量化的解决方案来计算代价和梯度。
data.insert(0, 'Ones', 1)
然后做一些变量的初始化。
# set X (training data) and y (target variable)
cols = data.shape[1]
X = data.iloc[:,0:cols-1]#X是所有行,去掉最后一列
y = data.iloc[:,cols-1:cols]#X是所有行,最后一列
观察下X(训练集)与y(目标变量是否正确)
X.head()#head()是观察前5行
y.head()
代价函数是应该是numpy矩阵,所以我们需要转换X和Y,然后才能使用它们。 我们还需要初始化theta,即把theta所有元素都设置为0.
X = np.matrix(X.values)
y = np.matrix(y.values)
theta = np.matrix([0,0])
theta 是一个(1,2)矩阵
2. 批量梯度下降
梯度下降的公式为:
根据该式子,梯度下降的函数可以写为:
def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))parameters = int(theta.ravel().shape[1])cost = np.zeros(iters)for i in range(iters):part_1 = np.dot(X, theta.T) - yfor j in range(parameters):part_2 = np.multiply(part_1, X[:,j])temp[0,j] -= alpha * np.sum(part_2)/len(X)theta = tempcost[i] = computeCost(X, y, theta)return theta, cost
初始化一些附加变量 - 学习速率α和要执行的迭代次数。
alpha = 0.01
iters = 1000
现在让我们运行梯度下降算法来将我们的参数θ适合于训练集。
g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters)
g
结果为:
最后,我们可以使用我们拟合的参数计算训练模型的代价函数(误差)。
computeCost(X, y, g)
结果为:4.515955503078912
现在我们来绘制线性模型以及数据,直观地看出它的拟合。
x = np.linspace(data.Population.min(), data.Population.max(), 100)
f = g[0, 0] + (g[0, 1] * x)fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction')
ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data')
ax.legend(loc=2)
ax.set_xlabel('Population')
ax.set_ylabel('Profit')
ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')
plt.show()
输出结果为:
由于梯度方程式函数也在每个训练迭代中输出一个代价的向量,所以我们也可以绘制。 请注意,代价总是降低 - 这是凸优化问题的一个例子。
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(np.arange(iters), cost, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()
3. 多变量线性回归
在这一部分,你将完成多变量线性回归去预测房价。假设你正在售卖你的房子并且你想去了解一个好的市场价格。一个方法就是首先去收集最近房子的信息并建立一个房价预测模型,文件“exidata2.txt”中包含了波兰的房价的训练集。第一列数据是房子的大小(平方英尺),第二列是卧室的数目,第三列是房价。下面的代码来完成房价的预测:
首先,读取数据:
path = 'ex1data2.txt'
data2 = pd.read_csv(path, header=None, names=['Size', 'Bedrooms', 'Price'])
data2.head()
对于此任务,我们添加了另一个预处理步骤 - 特征归一化。 这个对于pandas来说很简单
data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std()
data2.head()
现在我们重复第一部分的预处理步骤,并对新数据集运行线性回归程序:
# add ones column
data2.insert(0, 'Ones', 1)# set X (training data) and y (target variable)
cols = data2.shape[1]
X2 = data2.iloc[:,0:cols-1]
y2 = data2.iloc[:,cols-1:cols]# convert to matrices and initialize theta
X2 = np.matrix(X2.values)
y2 = np.matrix(y2.values)
theta2 = np.matrix(np.array([0,0,0]))# perform linear regression on the data set
g2, cost2 = gradientDescent(X2, y2, theta2, alpha, iters)# get the cost (error) of the model
computeCost(X2, y2, g2)
结果为: 0.130703369607711892
我们也可以快速查看这一训练进程。
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(np.arange(iters), cost2, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()
4. 正规方程法
正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的:
假设我们的训练集特征矩阵为X(包含了X0=1)并且我们的训练集结果为向量 y,则利用正规方程解出向量 ?=(???)−1???θ=(XTX)−1XTy 。 上标T代表矩阵转置,上标-1 代表矩阵的逆。设矩阵?=???A=XTX,则:(???)−1=?−1
梯度下降与正规方程的比较:
梯度下降:需要选择学习率α,需要多次迭代,当特征数量n大时也能较好适用,适用于各种类型的模型
正规方程:不需要选择学习率α,一次计算得出,需要计算(???)−1(XTX)−1,如果特征数量n较大则运算代价大,因为矩阵逆的计算时间复杂度为?(?3)O(n3),通常来说当?n小于10000 时还是可以接受的,只适用于线性模型,不适合逻辑回归模型等其他模型
# 正规方程
def normalEqn(X, y):A = np.dot(X.T, X).IB = np.dot(A, X.T)theta = np.dot(B,y)return theta
final_theta2=normalEqn(X, y)#感觉和批量梯度下降的theta的值有点差距
final_theta2
输出结果为:
matrix([[-3.89578088],[ 1.19303364]])
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