数字滤波器(四)--模拟滤波器转化为数字滤波器

模拟滤波器的设计

引
1. 映射方法
2. 冲激响应不变法
- 2.1 变换步骤
- 2.2 冲激响应不变法的优缺点
3. 双线性变换法
- 3.1 变换步骤
- 3.2 双线性变换法的优缺点

引

数字滤波器(一)–IIR与FIR的基本结构与MATLAB实现
数字滤波器(二)–最小相位延时系统和全通系统
数字滤波器(三)–模拟滤波器的设计

1. 映射方法

映射的目的就是从模拟滤波器转换到数字滤波器，这个过程就是从已知的模拟滤波器系统函数Ha(s)H_a(s)Ha(s)映射为数字滤波器的系统函数H(z)H(z)H(z), 因此从模拟滤波器转为数字滤波器的根本就是从s平面转化为z平面。该映射需要满足两个要求：

H(z)H(z)H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)H_a(s)Ha(s)的频率响应，s平面虚轴要映射为z平面的单位圆。
因果稳定的Ha(s)H_a(s)Ha(s)能映射为因果未稳定H(z)H(z)H(z)，即s平面的左半平面Re[s]<0Re[s]<0Re[s]<0要映射为z平面单位圆内部∣z∣<1|z|<1∣z∣<1

一般的转化方法有两种：冲激响应不变法与双线性变换法

2. 冲激响应不变法

2.1 变换步骤

冲激响应不变法就是使数字滤波器的单位脉冲响应h(n)h(n)h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)h_a(t)ha(t)，也就是说，我们将ha(t)h_a(t)ha(t)进行等间隔采样，使得h(n)h(n)h(n)刚好等于ha(t)h_a(t)ha(t)的T间隔采样值，即：
h(n)=ha(t)∣t=nTh(n)=h_a(t)|_{t=nT}h(n)=ha(t)∣t=nT
假定h(n)<−>H(z),ha(t)<−>Ha(s)h(n) <->H(z), h_a(t)<->H_a(s)h(n)<−>H(z),ha(t)<−>Ha(s),则可以得到模拟滤波器数字化的过程为：
Ha(s)−>ha(t)−>h(n)−>H(z)H_a(s)->h_a(t)->h(n)->H(z)Ha(s)−>ha(t)−>h(n)−>H(z)
这个过程也就是时域采样、频域周期延拓的过程。

利用冲激响应不变法设计数字低通滤波器的步骤如下所示：

第一步
根据给定的数字低通滤波器的指标wpw_pwp, wstw_{st}wst, δp\delta_pδp, δs\delta_sδs;
第二步
选择合适的T值，求解模拟指标Ωp=wpT\Omega_p=\frac{w_p}{T}Ωp=Twp, Ωst=wstT\Omega_{st}=\frac{w_{st}}{T}Ωst=Twst
第三步
根据指标wpw_pwp, wstw_{st}wst, δp\delta_pδp, δs\delta_sδs，设计模拟滤波器，并的系统函数Ha(s)H_a(s)Ha(s)
第四步
将系统函数Ha(s)H_a(s)Ha(s)进行部分分式展开，展开成（可查表进行因式分解）
Ha(s)=∑k=1NAks−skH_a(s)=\sum_{k=1}^N \frac{A_k}{s-s_k}Ha(s)=k=1∑Ns−skAk
第五步
依据冲激响应不变法，数字滤波器的系统函数为
H(z)=∑k=1NTAk1−eskTz−1H(z)=\sum_{k=1}^N \frac{TA_k}{1-e^{s_kTz^{-1}}}H(z)=k=1∑N1−eskTz−1TAk
其中采样间隔T的取值不影响滤波器的设计，为了计算方便，一般取1居多。

下面个通过两个例子来说明：

例1
例1

2.2 冲激响应不变法的优缺点

冲激响应不变法的优点：

冲激响应不变法的时域逼近良好；
模拟频率Ω\OmegaΩ与数字频率www之间呈线性映射关系w=ΩTw=\Omega Tw=ΩT

冲激响应不变法的缺点：

冲击响应不变法设计的滤波器会有频率响应的混叠效应
冲激响应不变法仅适用于限带的模拟滤波器（比如衰减特性很好的低通或者带通滤波器），而高频衰减越快，混叠效应越小；而对于高通、带阻滤波器，不便采用此方法进行设计。

3. 双线性变换法

3.1 变换步骤

双线性变换法首先采用非线性频率压缩的方法，将这个频率轴上的频率方位压缩至[−πT,πT][-\frac{\pi}{T},\frac{\pi}{T}][−Tπ,Tπ]，在通过z=esTz=e^{sT}z=esT将s平面映射到z平面，这样s平面和z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，从而消除了频谱混叠现象，如下图所示：

双线性变换关系的表达式为：
s=2T1−z−11+z−1s=\frac{2}{T} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}s=T21+z−11−z−1

双线性变换法设计模拟低通滤波器的步骤为：

第一步
根据给定的数字低通滤波器的指标wpw_pwp, wstw_{st}wst, δp\delta_pδp, δs\delta_sδs;
第二步
通过预畸变，确定模拟指标：Ω=2Ttan(w2)\Omega=\frac{2}{T}tan(\frac{w}{2})Ω=T2tan(2w)(T的取值一般为2)
第三步
根据指标wpw_pwp, wstw_{st}wst, δp\delta_pδp, δs\delta_sδs，设计模拟滤波器，并得到系统函数Ha(s)H_a(s)Ha(s)
第四步
依据双线性变换法，数字滤波器的系统函数为
H(z)=H(s)∣s=2T1−z−11+z−1H(z)=H(s)|_{s=\frac{2}{T} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}H(z)=H(s)∣s=T21+z−11−z−1

值得注意的是，在变换过程中，采样间隔T一般取2，会通过计算抵消，因此其取值不影响设计。

下面我们通过两个例子来感受下双线性变换法设计数字滤波器：

例1
例2

3.2 双线性变换法的优缺点

优点：
消除了冲激响应不变法的混叠效应，可以设计各种类型的滤波器。
缺点：
存在着严重的非线性频率变换：
Ω=2Ttan(w2)\Omega=\frac{2}{T}tan(\frac{w}{2})Ω=T2tan(2w)
对于分段常数的滤波器，经过双线性变换后，仍然得到幅频特性为分段常数的滤波器，但各个分段边缘的临界频率点的位置会产生畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变加以校正。
预畸变指的是将临界模拟频率实现加以畸变，然后经过变换后刚好可以映射到所需要的的数字频率上；预畸变的表达式为：
Ωp=2Ttan(wp2)\Omega_p=\frac{2}{T}tan(\frac{w_p}{2})Ωp=T2tan(2wp)
在双线性变换法设计数字滤波器时必须进行预畸变操作。