机器学习：神经网络的代价函数及反向传播算法

在《机器学习：神经网络的模型构建》中，我记录了神经网络的一些基础知识，包括神经网络的逻辑单元、模型表示、前向传播等等。这篇笔记中，我会整理神经网络的代价函数以及反向传播算法～

那么如何在给定的训练集下，来为神经网络拟合参数呢？和之前学习的大多数算法一样，要从代价函数开始讨论起了。

神经网络在分类中的应用

神经网络可以应用在两种分类问题中：二分类问题和多分类问题。

在二分类问题中，y 等于 0 或 1，神经网络只有一个输出单元；多分类问题中，y 可能为任何实数，神经网络有多个输出单元。

神经网络的代价函数

现在我们有一个训练集： $\left\{ (x^{(1)},y^{(1)}), (x^{(2)},y^{(2)}), ... , (x^{(m)},y^{(m)}) \right\}$ ，其中有 m 个训练样本，每个包含一组输入 $x^{(i)}$ 和一组输出 $y^{(i)}$ ，我们用 $L$ 表示神经网络的总层数，用 $s_{l}$ 表示第 $l$ 层的单元数量，即神经元的数量（不包括偏置单元）。

一般来说，我们使用的神经网络的代价函数是逻辑回归里代价函数的一般形式。

在逻辑回归中，我们的代价函数通常为： $J(\theta)=-\frac{1}{m}[\sum_{i=1}^{m}{y^{(i)}logh_{\theta}(x^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-h_{\theta}(x^{(i)}))}]+\frac{x}{2m}\sum_{j=1}^{n}{\theta_{j}^{2}}$ ，其中第一项表示预测值与实际值之间的差距，第二项为参数的正则化项。

对于神经网络来说，不再是只有一个输出单元，取而代之的是 K 个，那么其代价函数就表示为： $J(\Theta)=-\frac{1}{m}[\sum_{i=1}^{m}\sum_{k=1}^{K}{y_{k}^{(i)}log(h_{\Theta}(x^{(i)}))_{k}+(1-y_{k}^{(i)})log(1-(h_{\Theta}(x^{(i)}))_{k})}]+\frac{\lambda}{2m}\sum_{l=1}^{L-1}\sum_{i=1}^{s_{l}}\sum_{j=1}^{s_{l+1}}(\Theta_{ji}^{(l)})^{2}$

其中 $h_{\Theta}(x)\in R^{K}$ （K 维向量）， $(h_{\Theta}(x))_{i}$ 表示第 i 个输出。

即每一个的逻辑回归算法的代价函数，按输出的顺序 1 ～ K，依次相加。

反向传播算法

那么如何将神经网络的代价函数最小化呢？我们来看一下反向传播算法。

在上一个部分中，我们已经得到了代价函数 $J(\theta)$ 的表达式，想要用梯度下降法或更高级的优化算法来求参数，就需要来计算 $J(\theta)$ 和 $\frac{\partial}{\partial \Theta_{ij}^{(l)}}J(\Theta)$ 。

先回顾一下前向传播算法，如果有一个训练集，只有一组样本 $(x,y)$ ，那么求训练集在神经网络中各层的输出值的过程为：

$a^{(1)}$ 就是第一层的激励值，也就是输入层，所以为 $x$ ，那么 $z^{(2)}$ 就等于矩阵 $\Theta^{(1)}$ 乘 $a^{(1)}$ ，第二层的激励值 $a^{(2)}$ 就为 $g(z^{(2)})$ ，后几层同理，同样用前向传播求出 $a^{(3)}$ 和 $a^{(4)}$ ，其中 $g$ 为 S 型激励函数。同样， $a^{(4)}$ 也是假设函数的输出 $h_{\Theta}(x)$ 。

⚠️接下来，为了计算导数项，我们就需要用到反向传播算法了！

简单来说，我们引入了一个误差变量 $\delta_{j}^{(l)}$ ，代表第 $l$ 层中第 $j$ 个节点的误差，表示了该节点对最终输出值的残差产生的影响，也就是说这个误差捕捉到了该节点的激励值，然后计算出其误差，例如：

$\delta_{j}^{(4)}=a_{j}^{(4)}-y_{j}$ ，

向量化表示就是：

$\delta^{(4)}=a^{(4)}-y$ ，

其中：向量维数等于输出的单元个数。

下一步就是计算前几层的误差项了：

$\delta^{(3)}=(\Theta^{(3)})^{T}\delta^{(4)}.*g^{'}(z^{(3)})$

$\delta^{(2)}=(\Theta^{(2)})^{T}\delta^{(3)}.*g^{'}(z^{(2)})$

（推导方法有很多种，式子太复杂就不记录了……）

到这里也看出来为什么叫反向传播算法了，因为是从输出层开始，一层一层往前推算的，一直计算到第二层，因为第一层是输入层，不存在误差。

这就是反向传播算法的大致过程，那么面对复杂的训练集时，如何使用反向传播算法呢？

假设训练集为 $\left\{ (x^{(1)},y^{(1)}), (x^{(2)},y^{(2)}), ... , (x^{(m)},y^{(m)}) \right\}$ ，设误差 $\Delta_{ij}^{(k)}=0$ ，下面是一段伪代码：

For $i=1$ to $m$
{
Set $a^{(1)}=x^{(i)}$
Perform forward propagation to compute $a^{(l)}$ for $l=2,3,...,L$
Using $y^{(i)}$ , cpmpute $\delta^{L}=a^{L}-y^{i}$
Compute $\delta^{(L-1)},\delta^{(L-2)},...,\delta^{2}$ $\Delta_{ij}^{(l)}:=\Delta_{ij}^{(l)}+a_{j}^{(l)}\delta_{i}^{(l+1)}$
}
$D_{ij}^{(l)}:=\frac{1}{m}\Delta_{ij}^{(l)}+\lambda \Theta_{ij}^{(l)}$ if $j\ne0$ $D_{ij}^{(l)}:=\frac{1}{m}\Delta_{ij}^{(l)}$ if $j=0$

简单来说就是，从后向前依次计算每一层的 $\delta$ ，用 $\Delta$ 代表总误差，每一层都有对应的 $\Delta^{(l)}$ ，再引入代价函数对参数进行求导的结果 $D$ ， $j=0$ 时对应偏置项。

一旦计算出了 $D_{ij}^{(l)}$ ，就可以得到代价函数对每个参数的偏导数，因为可以证明得到：

$\frac{\partial}{\partial \Theta_{ij}^{(l)}}J(\Theta)=D_{ij}^{(l)}$ ，

$D_{ij}^{(l)}$ 用来累加误差值，最后帮助我们计算偏微分～