轻松掌握线性代数-万字长文基础知识概览
轻松掌握线性代数-万字长文基础知识概览
- 1 集合相关知识
- 1.1 映射与像
- 1.2 映射与像
- 1.3 线性映射
- 2 矩阵
- 2.1 特殊矩阵
- 2.1.1 零矩阵
- 2.1.2 转置矩阵
- 2.1.3 对称矩阵
- 2.1.4 上三角矩阵
- 2.1.5 下三角矩阵
- 2.1.6 对角矩阵
- 2.1.7 单位矩阵
- 2.1.8 逆矩阵
- 2.2 行列式
- 2.2.1 根据行列式判断是否可逆
- 2.2.2 二阶行列式
- 2.2.3 三阶行列式
- 3 向量
- 3.1 向量的 4 种解释方法
- 3.2 向量表示直线和空间
- 3.3 线性无关
- 3.4 基
- 3.5 维数
- 3.5.1 子空间
- 3.5.2 基和维数
- 3.6 线性代数中的坐标
- 4 线性映射
- 4.1 线性映射
- 4.2 特殊的线性映射
- 4.2.1 放大
- 4.2.2 旋转
- 4.2.3 平移
- 4.2.4 透视投影
- 4.3 核、像空间、维数公式
- 4.4 秩
- 4.5 线性映射与矩阵的关系
- 5 特征值和特征向量
- 参考
线性代数是一门将 m 维世界与 n 维世界联系起来的学科
1 集合相关知识
1.1 映射与像
映射：把集合 Y 的元素与集合 X 的元素相对应的规则叫做 “从集合 X 到集合 Y 的映射”。
像：通过映射 f 与 xi 相对应的集合 Y 的元素，叫做 xi通过映射 f 形成的像，一般表示为 f(xi)。
1.2 映射与像
1.3 线性映射
线性映射的例子 f ( x ) = 2 x f(x) = 2x f(x)=2x
两个条件均满足，条件证明：
不是线性映射的例子 f ( x ) = 2 x − 1 f(x)=2x-1 f(x)=2x−1
满足条件 1，但是不满足条件 2：
2 矩阵
一次方程使用矩阵表示：
2.1 特殊矩阵
2.1.1 零矩阵
2.1.2 转置矩阵
2.1.3 对称矩阵
以对角元素为中心线对称的 n 阶方阵
2.1.4 上三角矩阵
对角元素左下角的所有元素均为 0 的 n 阶方阵
2.1.5 下三角矩阵
对角元素右上角的所有元素均为 0 的 n 阶方阵
2.1.6 对角矩阵
对角元素以外的元素均为 0 的 n 阶方阵，也可以表示为 diag(1,2,3,4)。diag 表示对角线的意思 diagonal。
对角矩阵计算 p 次方：
2.1.7 单位矩阵
对角元素均为 1，对角元素以外的其他元素全部为 0 的 n 阶方阵，也即 diag(1,1,…,1)
单位矩阵与任何矩阵相乘，还是得到原矩阵
2.1.8 逆矩阵
与 n 阶原方阵
的积等于单位矩阵的 n 阶方阵就是原方阵的逆矩阵。
原方阵与逆矩阵相乘，不管其顺序如何得到的乘积一定是单位矩阵。
存在逆矩阵的 n 阶方阵叫做可逆矩阵。
2.2 行列式
2.2.1 根据行列式判断是否可逆
计算行列式，det 即为 deterninant(决定因子)。行列式不为 0 则可逆。行列式为 0 ，则不可逆
2.2.2 二阶行列式
2.2.3 三阶行列式
3 向量
3.1 向量的 4 种解释方法
关于解释 4 的说明：虽然这些箭线位置不同，但它们表示的都是从箭尾到箭头的水平长度为 7，垂直长度为 4，所以这些箭线是相等的。
3.2 向量表示直线和空间
把 n × 1 列向量的所有分量的集合表示为 Rn
现在利用向量表示点、轴、直线、平面和空间
点，c 为任意实数(关于虚数与复数)。y 轴上的点 (0,c) 可以表示为向量 c [ 0 1 ] ∣ \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]| [01]∣
轴，y 轴可以表示为集合 { c [ 0 1 ] ∣ c 为 任 意 实 数 } \{c\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right]|c为任意实数\} {c[01]∣c为任意实数}
直线，直线 x1=3 可以表示为集合， { 3 [ 1 0 ] + c [ 0 1 ] ∣ c 为 任 意 实 数 } \{3\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right]+c\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right] |c为任意实数\} {3[10]+c[01]∣c为任意实数}
平面1，平面 x 1 x 2 x_1x_2 x1x2 可以表示为集合 { c 1 [ 1 0 ] + c 2 [ 0 1 ] ∣ c 1 和 c 2 为 任 意 实 数 } \{c_1\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right]+c_2\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right] |c_1和c_2为任意实数\} {c1[10]+c2[01]∣c1和c2为任意实数}，简而言之就是 R 2 R^2 R2
平面2，平面 x 1 x 2 x_1x_2 x1x2 也可以表示为集合 { c 1 [ 3 1 ] + c 2 [ 1 2 ] ∣ c 1 和 c 2 为 任 意 实 数 } \{c_1\left[ \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right]+c_2\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right] |c_1和c_2为任意实数\} {c1[31]+c2[12]∣c1和c2为任意实数}，简而言之就是 R 2 R^2 R2
空间1， x 1 x 2 x 3 x_1x_2x_3 x1x2x3 空间可以表示为集合 { c 1 [ 1 0 0 ] + c 2 [ 0 1 0 ] + c 3 [ 0 0 1 ] ∣ c 1 、 c 2 和 c 3 为 任 意 实 数 } \{c_1\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]+c_2\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right]+c_3\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] |c_1、c_2和 c_3 为任意实数\} {c1⎣⎡100⎦⎤+c2⎣⎡010⎦⎤+c3⎣⎡001⎦⎤∣c1、c2和c3为任意实数}，简而言之就是 R 3 R^3 R3
空间2， x 1 x 2 x 3 . . . x n x_1x_2x_3...x_n x1x2x3...xn 空间可以表示为集合:
3.3 线性无关
线性无关是限定零向量的概念，也即组成零向量的向量集合只有一组全为 0 的解
同时，也可以把线性无关叫做线性独立。如果向量之间不是线性无关，就叫做线性相关。
几个线性无关例子：
几个线性相关例子：
3.4 基
基是一个集合，集合里面的元素是向量。基是以 R n R^n Rn 的所有向量为对象的概念
基的例子：
不是基的例子：
集合 { [ 1 0 0 ] ， [ 0 1 0 ] } \{\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]，\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right]\} {⎣⎡100⎦⎤，⎣⎡010⎦⎤}，虽然不是基，但是这两个向量线性无关。也就是说线性无关向量集合并不一定是基，反过来也可以说即使集合不是基，起元素也有可能线性无关。
3.5 维数
3.5.1 子空间
子空间的例子：
不是子空间的例子：
由向量空间生成的子空间：
无论什么子空间都必须包含零向量 [ 0 0 . . . 0 ] \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ .\\ .\\ .\\ 0 \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡00...0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
3.5.2 基和维数
子空间 W W W 的维数，一般表示为 d i m W dimW dimW,dim 是 dimension 的缩写
上面子空间由集合 { [ 3 1 0 ] , [ 1 2 0 ] } \{\left[ \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right]\} {⎣⎡310⎦⎤,⎣⎡120⎦⎤} 表示 W 的基，基的集合元素是两个，所以子空间的维数是 2。简单来讲，在线性代数中，维数就是基向量个数。
3.6 线性代数中的坐标
线性代数中的“坐标”与一般坐标不一样。一般坐标中是以基 { [ 1 0 . . . 0 ] , [ 0 1 . . . 0 ] , . . . , [ 0 0 . . . 1 ] } \{\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ...\\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ ...\\ 0 \end{matrix} \right],...,\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ...\\ 1 \end{matrix} \right] \} {⎣⎢⎢⎡10...0⎦⎥⎥⎤,⎣⎢⎢⎡01...0⎦⎥⎥⎤,...,⎣⎢⎢⎡00...1⎦⎥⎥⎤}为前提来考虑坐标的。
一般坐标中原点和点的关系：
线性代数中基有可能不同
4 线性映射
4.1 线性映射
1.4 节提到过线性映射的定义：
但上面的定义稍显模糊，线性映射完整定义：
直观地解释就是映射 f 满足这两个条件：1、向量通过 f 由 R n R^n Rn 映射到 R m R^m Rm 之后进行加和等价于向量加和之后，再通过映射 f 由 R n R^n Rn 映射到 R m R^m Rm；2、任意常数乘 f 映射到 R m R^m Rm的向量等价于常数乘向量随后再进行映射
如果映射 f 是从 R n R^n Rn 映射到 R m R^m Rm 的线性映射，那么 f 与 m × n m×n m×n 矩阵意义相同。
证明如下：
从上可以看出，f 相当于 m*n 矩阵
将 n 维向量映射到 m 维上，相当于 m×n 乘 n 维向量，类似于 y = A x y = Ax y=Ax
4.2 特殊的线性映射
图中任意一点以 ( x 1 , x 2 ) (x_1,x_2) (x1,x2) 表示
4.2.1 放大
如果把上图沿着 y 轴方向扩展 β 倍，x 轴方向扩展 α 倍，那么扩展后的坐标为：
{ y 1 = α x 1 y 2 = β x 2 \left\{ \begin{array}{c} y_1=αx_1 \\ y_2=βx_2 \\ \end{array} \right. {y1=αx1y2=βx2
相当于矩阵相乘：
2 阶方阵 [ α 0 0 β ] \left[ \begin{matrix} α & 0 \\ 0 & β \end{matrix} \right] [α00β] 对应的就是从 R 2 R^2 R2 到 R 2 R^2 R2 的线性映射 f f f。
4.2.2 旋转
当要把图旋转 θ 时，就可以利用 2 阶方阵 [ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ] \left[ \begin{matrix} cosθ & -sinθ \\ sinθ & cosθ \end{matrix} \right] [cosθsinθ−sinθcosθ] 对应的从 R 2 R^2 R2 到 R 2 R^2 R2 的线性映射 f f f。
4.2.3 平移
如果把图沿着 x 轴方向平移 b1 单位，沿着 y 轴的方向平移 b2 个单位，那么就有下式：
{ y 1 = x 1 + b 1 y 2 = x 2 + b 2 \left\{ \begin{array}{c} y_1=x_1 + b_1 \\ y_2=x_2 + b_2\\ \end{array} \right. {y1=x1+b1y2=x2+b2
也可以写成：
在计算机绘图中，用的通常是 3 维映射
4.2.4 透视投影
透视投影就是通过某一固定观察点与实际物体的直线，将实物 3 维空间的点投影在 2 维平面上的方法。
透视投影可以利用 4 阶方阵
4.3 核、像空间、维数公式
4.4 秩
4.5 线性映射与矩阵的关系
5 特征值和特征向量
也就是说，在线性代数中，对于一个给定的方阵 A，它的特征向量 v 经过这个线性变换 A 之后，得到的新向量仍然与原来的v 保持在同一条直线上，但其长度或方向也许会改变。即：
拉姆达为其特征值。如果特征值为正，则表示 v 在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特征值为负，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。
利用特征值和特征向量求解向量 p 次方
参考
史上最全Markdown公式、符号总结！！！
漫画线性代数
特征值和特征向量
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