经典数学问题“空瓶换酒”求解（C/C++）

经典数学问题“空瓶换酒”：某啤酒店可用a(>0)个空啤酒瓶换b(<a)瓶啤酒，某人一次购买n瓶啤酒，问其最多能够喝多少瓶啤酒？

通常这类问题希望我们要“投机取巧”，即先找店家或他人借空瓶，换酒喝完后再如数归还

为求全面，本人分别对“允许借空瓶”与“不允许借空瓶”两种情况进行推导

（一）允许借空瓶：

能借到空瓶我们可以尽可能做到物尽其用

每换一次需要a个空瓶，而换来的酒喝完后又有b个空瓶，实际每次兑换空瓶减少(a-b)个

于是n个空瓶总共可兑换：n/(a-b) 次（式中除法为整数除法，商为兑换次数，余数则是最后剩余的空瓶数）

由于每次兑换可得到b瓶啤酒，于是共可兑换n/(a-b)*b瓶啤酒

一共能喝到的啤酒数当然也就为(n + n/(a-b)*b)瓶了

（二）不允许借空瓶

如果没人愿意借给你空瓶，此时只能“自力更生”了

若n小于a，很明显一次也兑换不了，一共能喝的也就是买的那n瓶啤酒

若n不小于a，一旦剩余空瓶数小于a，则兑换结束

为方便计算，预留a个空瓶，先兑换其余(n-a)个空瓶，于是可从预留的a个空瓶里去“借”，喝完再“归还”

根据“允许借空瓶”情况公式，(n-a)个空瓶总共可兑换：(n-a)/(a-b) 次（同上，式中除法表示整数除法）

由于预留的a个空瓶最后还可再进行一次兑换，故总兑换总次数为：(n-a)/(a-b)+1，化简后为(n-b)/(a-b) 次

最后预留的a个空瓶换的b瓶啤酒喝完后还会得到b个空瓶，故最后剩余的空瓶数为上式余数加b

由于每次兑换可得到b瓶啤酒，于是共可兑换(n-b)/(a-b)*b瓶啤酒

一共能喝到的啤酒数当然也就为(n + (n-b)/(a-b)*b)瓶了

为将以上公式通用化，当n小于b时，b取值同n

基于上述推导，本人开发了求解“空瓶换酒”问题的Win32应用程序，开发语言C/C++(结合Windows SDK)

程序界面如图：

程序主要代码如下：

#include "stdafx.h"
#include <Windows.h>
#include <Commctrl.h>
#pragma comment(lib, "Comctl32.lib")
#include <Shlwapi.h>
#pragma comment(lib, "Shlwapi.lib")#define INPUT_LIMIT    9static HWND hEditA;
static HWND hEditB;
static HWND hEditN;
static HWND hButtonCalc;
static HWND hEditRes1;
static HWND hEditRes2;
static HWND hEditRes3;static VOID ClearResults()
{if (!IsWindowEnabled(hButtonCalc)){SetWindowText(hEditRes1, TEXT(""));SetWindowText(hEditRes2, TEXT(""));SetWindowText(hEditRes3, TEXT(""));EnableWindow(hButtonCalc, TRUE);}
}INT_PTR CALLBACK DialogProc(HWND hWndDlg, UINT uMsg, WPARAM wParam, LPARAM lParam)
{UNREFERENCED_PARAMETER(lParam);switch (uMsg){case WM_INITDIALOG:{HICON hIcon = LoadIcon(GetModuleHandle(NULL), MAKEINTRESOURCE(IDI_ICON));SendMessage(hWndDlg, WM_SETICON, ICON_SMALL, (LPARAM)hIcon);SendMessage(hWndDlg, WM_SETICON, ICON_BIG, (LPARAM)hIcon);hEditA = GetDlgItem(hWndDlg, IDC_EDIT_A);hEditB = GetDlgItem(hWndDlg, IDC_EDIT_B);hEditN = GetDlgItem(hWndDlg, IDC_EDIT_N);HWND hCheckBorrow = GetDlgItem(hWndDlg, IDC_CHECK_BORROW);hButtonCalc = GetDlgItem(hWndDlg, IDC_BUTTON_CALC);hEditRes1 = GetDlgItem(hWndDlg, IDC_EDIT_RES1);hEditRes2 = GetDlgItem(hWndDlg, IDC_EDIT_RES2);hEditRes3 = GetDlgItem(hWndDlg, IDC_EDIT_RES3);SetWindowText(hEditA, TEXT("3"));SendMessage(hEditA, EM_SETLIMITTEXT, (WPARAM)INPUT_LIMIT, (LPARAM)0);SetWindowText(hEditB, TEXT("1"));SendMessage(hEditB, EM_SETLIMITTEXT, (WPARAM)INPUT_LIMIT, (LPARAM)0);SetWindowText(hEditN, TEXT("18"));SendMessage(hEditN, EM_SETLIMITTEXT, (WPARAM)INPUT_LIMIT, (LPARAM)0);SendMessage(hCheckBorrow, BM_SETCHECK, (WPARAM)BST_CHECKED, (LPARAM)0);return (INT_PTR)TRUE;}break;case WM_COMMAND:{switch (wParam){case MAKEWPARAM(IDCANCEL, BN_CLICKED):{EndDialog(hWndDlg, (INT_PTR)0);return (INT_PTR)TRUE;}break;case MAKEWPARAM(IDC_EDIT_A, EN_CHANGE):{ClearResults();return (INT_PTR)TRUE;}break;case MAKEWPARAM(IDC_EDIT_B, EN_CHANGE):{ClearResults();return (INT_PTR)TRUE;}break;case MAKEWPARAM(IDC_EDIT_N, EN_CHANGE):{ClearResults();return (INT_PTR)TRUE;}break;case MAKEWPARAM(IDC_CHECK_BORROW, BN_CLICKED):{ClearResults();return (INT_PTR)TRUE;}break;case MAKEWPARAM(IDC_BUTTON_CALC, BN_CLICKED): //计算部分{if (GetWindowTextLength(hEditA) <= 0){MessageBox(hWndDlg, TEXT("未输入起换空瓶数(a)！"), TEXT("错误"), MB_OK | MB_ICONHAND);SetFocus(hEditA);return (INT_PTR)TRUE;}if (GetWindowTextLength(hEditB) <= 0){MessageBox(hWndDlg, TEXT("未输入可换啤酒数(b)！"), TEXT("错误"), MB_OK | MB_ICONHAND);SetFocus(hEditB);return (INT_PTR)TRUE;}if (GetWindowTextLength(hEditN) <= 0){MessageBox(hWndDlg, TEXT("未输入购买啤酒数(n)！"), TEXT("错误"), MB_OK | MB_ICONHAND);SetFocus(hEditN);return (INT_PTR)TRUE;}UINT a = GetDlgItemInt(hWndDlg, IDC_EDIT_A, NULL, FALSE);if (!a){MessageBox(hWndDlg, TEXT("起换空瓶数(a)应大于0！"), TEXT("错误"), MB_OK | MB_ICONHAND);SendMessage(hEditA, EM_SETSEL, (WPARAM)0, (LPARAM)-1);SetFocus(hEditA);return (INT_PTR)TRUE;}UINT b = GetDlgItemInt(hWndDlg, IDC_EDIT_B, NULL, FALSE);if (b >= a){MessageBox(hWndDlg, TEXT("可换啤酒数(b)应小于起换空瓶数(a)！"), TEXT("错误"), MB_OK | MB_ICONHAND);SendMessage(hEditB, EM_SETSEL, (WPARAM)0, (LPARAM)-1);SetFocus(hEditB);return (INT_PTR)TRUE;}UINT n = GetDlgItemInt(hWndDlg, IDC_EDIT_N, NULL, FALSE);UINT u1, u2, u3;if (IsDlgButtonChecked(hWndDlg, IDC_CHECK_BORROW) == BST_UNCHECKED){if (n < b)b = n;u1 = (n - b) / (a - b);u2 = (n - b) % (a - b);u3 = b;}else{u1 = n / (a - b);u2 = n % (a - b);u3 = 0U;}TCHAR szText[12];wnsprintf(szText, 12, TEXT("%u"), u1);SetWindowText(hEditRes1, szText);wnsprintf(szText, 12, TEXT("%u"), u2 + u3);SetWindowText(hEditRes2, szText);wnsprintf(szText, 12, TEXT("%u"), n + u1 * b);SetWindowText(hEditRes3, szText);EnableWindow(hButtonCalc, FALSE);return (INT_PTR)TRUE;}break;}}break;}return (INT_PTR)FALSE;
}extern "C" VOID Startup()
{{INITCOMMONCONTROLSEX InitCtrls;InitCtrls.dwSize = (DWORD)sizeof(INITCOMMONCONTROLSEX);InitCtrls.dwICC = ICC_WIN95_CLASSES;InitCommonControlsEx(&InitCtrls);}ExitProcess((UINT)DialogBoxParam(NULL, MAKEINTRESOURCE(IDD_DIALOG), NULL, DialogProc, (LPARAM)0));
}

完整的代码及程序下载：点击打开链接

结论

1、将“空瓶换酒”问题公式化，分别推导了“允许借空瓶”与“不允许借空瓶”两种情况计算公式

2、根据推导的计算公式开发了计算“空瓶换酒”问题的程序，比使用循环方式计算的程序简洁且高效

3、通过推导与观察可发现，购买n瓶啤酒大约可以喝到a/(a-b)*n瓶，也就是约为购买数量的a/(a-b)倍（注：这里不再是整数除法），且a越大或a与b越接近时此倍数越大。即使按常见的3:1比例兑换，买668瓶就能喝到1000瓶，一般人是该满意了哈~

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