浅谈传热学中温度分布曲线的凹凸分析

传热学主要研究的是热的传递问题，通常要求能掌握物体的温度分布，如何快速地判断一个温度曲线的凹凸性，是一项建议掌握的技巧。本文将从通过几个具体案例分析向大家介绍方法。

1、巧用傅里叶定律

傅里叶导热定律是最基本的描述热的方程，看似简单，使用它便能最迅速地判断出来。（ $t_1$ 大于 $t_2$ ）

$\phi =\lambda A \frac{t_{1}-t_{2}}{\delta }$

(1)变化的截面：圆柱导热对数曲线

圆柱导热是经典的变截面A(x)问题。首先，假设 $t_1$ > $t_2$ ，通过圆柱的热流量Φ大小恒定，圆柱的半径由内向外增大，所以侧表面积A增大，λ是定值，可推导出 $\frac{ t_1 -t_2}{r_2-r_1}$ 下降，我们可以微分化处理，那么 $\frac{ t_1 -t_2}{r_2-r_1}=\frac{ \Delta t}{\Delta r}=\frac{dt}{dr}$ 表示曲线的斜率，斜率随着半径的增大而减小，可以判断是①曲线

（2）变化的 $\lambda$

λ是导热系数，一般工程计算中为了简化计算，我们将它看做常数。实际上，也存在变导热系数的情况。

对于 $\lambda=\lambda_0(1+bt)$ 的情形，分析如下：

①曲线：随着x横坐标的增大， $\frac{dt}{dx}$ 减小，热流量 $\Phi$ 不变，由傅里叶导热定律得，λ随x的增大而增大，又t随x的增大而减小，所以λ随t的增大而减小故b<0

② 曲线：随着x横坐标的增大， $\frac{dt}{dx}$ 不变，热流量 $\Phi$ 不变，由傅里叶导热定律得，λ随x的增大恒定不变，λ是定值故b=0

③曲线：随着x横坐标的增大， $\frac{dt}{dx}$ 增大，热流量 $\Phi$ 不变，由傅里叶导热定律得，λ随x的增大而减小，又t随x的增大而减小，所以λ随t的增大而增大故b>0

(3)变截面问题

如图所示，是一个圆台，左端面温度为 $t_{w1}$ ，右端面温度为 $t_{w2}$ ，其他为绝热条件，右侧是它的等温线。大家有没有考虑过，为什么等温线是向左侧突出的弧形？为什么在右侧的等温线更密？使用傅里叶定律我们变可以解答，分析如下：

$\Phi=-\lambda A\frac{dt}{dx}$

随着x的增大，截面积A减小，λ和Φ不变，所以 $\frac{dt}{dx}$ 增大,假设 $t_{w1}>t_{w2}$ ,我们可以得到温度变化的大致图像

等温线越密的地方，温度变化越快，因此，我们知道右侧等温线更密集。

对于该圆台传热，任取过轴线的截面分析，可以画成三个部分，我们可以看作是并联的三块热阻，如下图所示：

在同一与轴线垂直的截面上，Ⅱ部分的温度总是低于Ⅰ、Ⅲ部分的，所以曲线向左突起。

2、利用温度解析式

如果可以直接得到温度解析式，那么可以通过解析式直接判断曲线的凹凸性。例如肋的曲线分布。

肋的温度解析式为

$\theta =\theta_0\frac{ch[m(x-H)]}{ch(mH)}$

对过余温度 $\theta$ 求导，有

$\frac{d\theta}{dx}=\theta_0m\frac{sh[m(x-H)]}{ch(mH)}$

对于双曲正弦函数shx的变化趋势大致为

由图可知，随着x的增大， $shx$ 也增大。又x-H<0，随着x的增大，x-H也增大， $sh(x-H)$ 增大但是 $sh(x-H)<0$ ,所以 $\left | \frac{d\theta}{dx} \right |$ 减小，肋片温度分布示意图为

注：本文案例来源于13.2.6 典型一维稳态导热分析解举例（下）通过圆筒壁及球壳的导热(P13)_哔哩哔哩_bilibili

以及王秋旺老师的《传热学：重点难点及典型题精解》

思路全为作者独立创作，如有雷同，纯属巧合。

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