100盏灯开关的问题

房间里有100盏电灯，编号为1，2，3……100，每盏灯上有一个按钮，初始时灯全都是关的。编好号的100位同学由房间外依次走进去，将自己编号的倍数的灯的按钮全部按一次，例如第一位同学把编号是1的倍数的灯的按钮按一下（此时100盏灯全亮），第二位同学把编号是2的倍数的灯的按钮按一下（此时只有50盏灯亮着，50盏被这个人按灭了）……第100位同学把编号是100的倍数的灯（即编号为100的灯）的按钮按一下，请问依次走完后，还有多少盏灯亮着？

方法一.通过模拟同学进出场开关灯实现

/***100盏灯开关的问题通过模拟同学进出实现*1为开，0为关* @author Zodiac**/
public class Demo04 {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stub/*模拟100盏灯，1表示开，0表示关*/byte light[]=new byte[100];/*最后灯开着的数量*/int result=0;/*将灯初始化为全关*/for(int i=0;i<light.length;i++)light[i]=0;/*模拟同学进场进行开关灯*/for(int j=1;j<=100;j++){for(int i=1;i<=100;i++){if(i%j==0){if(light[i-1]==0)light[i-1]=1;elselight[i-1]=0;}             }}/*统计开灯数*/for(int i=0;i<light.length;i++){if (light[i]==1){result++;}            }/*输出开灯的数目*/System.out.println(result);}}

方法二.通过以上进出场开关流程分析，我们可以通过对灯编号进行约数计数来降低复杂度，约数个数为奇数的灯最后是开着的，约数为偶数的灯是关着的。

/***100盏灯开关的问题通过计算约数个数实现* @author Zodiac*/
public class Demo05 {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stub/*保存开灯数量*/int result=0;/*保存约数个数*/int num[]=new int[100];/*将数组初始化为0*/for(int i=0;i<num.length;i++)num[i]=0;/*计算约数个数*/for(int i=1;i<=100;i++)for(int j=1;j<=i;j++){if(i%j==0){num[i-1]++;}}/*统计开灯数*/for(int i=0;i<num.length;i++){if (num[i]%2==1){result++;}         }/*输出开灯的数目*/System.out.println(result);}}

方法三.进一步分析，约数是成对出现的，因此只有完全平方数约数个数为奇数，其他数的约数个数都为偶数，因此本题实际上可以转换为求100内完全平方数的个数。当然答案为10。我们在上面两个代码中将开灯编号打出来，结果如下：

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
10

结果验证了求100内完全平方数的个数。

该题，我是永循序渐进的的思想去解决的，可能一开始不能想到将问题转换为求100以内完全平方数的个数，但是通过模拟实现，再一步步抽象分析优化得到了最简单的模型，当然中间过程并不一定要去代码实现，我这里只是为了做比较。因此给我的启发是遇到问题要分步分析去优化。

问题延伸：如果是n盏灯，k个人呢

这里给出复杂度为O(k*n)的约数个数算法，这里的约数个数是指ni在1-k之间的约数个数，方法一复杂度也为O(k*n)。还没想到怎么优化，读者如果有想法，希望给点指点。

代码：

public class Demo05 {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubLight light=new Light(10,5);light.calculate();System.out.println("Number of Lights that are open:\t"+light.getResult());Light light2=new Light(100,100);light2.calculate();System.out.println("Number of Lights that are open:\t"+light2.getResult());}}class Light{private int lightNum;   //灯数private int personNum;  //人数private int result=0;   //保存开灯数量/*** @param lightNum* @param personNum*/public Light(int lightNum, int personNum) {this.lightNum = lightNum;this.personNum = personNum;}/*返回开灯数*/public int getResult(){return this.result;}public void calculate(){/*保存约数个数*/int num[]=new int[this.lightNum];/*将数组初始化为0*/for(int i=0;i<num.length;i++)num[i]=0;/*计算约数个数*/for(int i=1;i<=this.lightNum;i++)for(int j=1;j<=this.personNum;j++){if(i%j==0){num[i-1]++;}}/*统计开灯数,打印开的灯的编号*/System.out.print("Lights that are open:");for(int i=0;i<num.length;i++){if (num[i]%2==1){System.out.print(i+1+" ");this.result++;}            }System.out.println();}}

结果：

Lights that are open:1 4 6 7 8 10
Number of Lights that are open: 6
Lights that are open:1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Number of Lights that are open: 10

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