SJTU Dreadnought Contest
- The Magic Square
- The Kirakira Cycle
- XOR Tree
Moscow SU Trinity Contest
- Green Day

SJTU Dreadnought Contest

The Magic Square

题意：已知n≤100n\le 100, 你需要用n个边长为整数的正方形凑出一个大正方形，无解输出“Impossible”。
ps:如果加上边长互不相同就成神题了。

考场送分题，几乎全对，关键是怎么实现比较好。

法1:考虑一个正方形，中间划十字多出3个，划九宫格多出8个，然后n大可以凑出来，小数据手推。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <functional>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
#define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define Fork(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
#define Rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define ForD(i,n) for(int i=n;i;i--)
#define ForkD(i,k,n) for(int i=n;i>=k;i--)
#define RepD(i,n) for(int i=n;i>=0;i--)
#define Forp(x) for(int p=Pre[x];p;p=Next[p])
#define Forpiter(x) for(int &p=iter[x];p;p=Next[p])
#define Lson (o<<1)
#define Rson ((o<<1)+1)
#define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a));
#define MEMI(a) memset(a,127,sizeof(a));
#define MEMi(a) memset(a,128,sizeof(a));
#define INF (2139062143)
#define F (100000007)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define vi vector<int>
#define pi pair<int,int>
#define SI(a) ((a).size())
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
ll mul(ll a,ll b){return (a*b)%F;}
ll add(ll a,ll b){return (a+b)%F;}
ll sub(ll a,ll b){return (a-b+llabs(a-b)/F*F+F)%F;}
void upd(ll &a,ll b){a=(a%F+b%F)%F;}
int read()
{int x=0,f=1; char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}while(isdigit(ch)) { x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}return x*f;
}
const int MAXN = 1000 +10;
int a[MAXN][MAXN]={0},l;
int a2[MAXN][MAXN]={0};
int n;void draw(){For(i,l) {For(j,l) printf("%d ",a[i][j]);puts("");}
}
void tian8(int &l,int &x){For(i,3*l) For(j,3*l) {if (i>l || j>l) {int t=x+(i-1)/l+(j-1)/l*3;a[i][j]=t;}}l*=3; x+=8;
}
void tian3(int &l,int &x){For(i,2*l) For(j,2*l) {if (i>l || j>l) {int t=x+(i-1)/l+(j-1)/l*2;a[i][j]=t;}}l*=2; x+=3;
}
void kuo2(int &l){For(i,l){For(j,l) a2[i*2-1][j*2-1]=a2[i*2-1][j*2]=a2[i*2][j*2-1]=a2[i*2][j*2]=a[i][j];}l*=2;For(i,l){For(j,l) a[i][j]=a2[i][j];}
}
void plus3(int A,int B,int l,int &x) {Fork(i,A,A+l-1)Fork(j,B,B+l-1) {int t=x;if (i>=A+l/2) t+=1;if (j>=B+l/2) t+=2;if (t==x) continue;a[i][j]=t;}x+=3;
}
void plus8(int A,int B,int l,int &x) {Fork(i,A,A+l-1)Fork(j,B,B+l-1) {int t=x;if (i>=A+l/3) t+=(i-A)/3;if (j>=B+l/3) t+=(j-B)/3;if (t==x) continue;a[i][j]=t;}x+=8;
}
pair<pair<int,int> , int>  q[10000];
int head=1,tail=1;
void draw2() {Fork(i,head,tail) {
//      printf("%d,%d  %d\n",q[i].fi.fi,q[i].fi.se,q[i].se);}
}
void init() {q[1]=mp(mp(1,1),1);
}void work(int X,int Y) {int p=1;int x=1;init();For(k,Y) {//draw2();tian8(l,x);pair<pair<int,int> , int> now=q[head];Rep(i,3) Rep(j,3)  {if (i||j)q[++tail] = mp(mp(now.fi.fi +i*p , now.fi.se+j*p ), p  );}p*=3;}kuo2(l);Fork(i,head,tail) q[i].fi.fi=q[i].fi.fi*2-1,q[i].fi.se=q[i].fi.se*2-1,q[i].se*=2;//      kuo2(l);
//      Fork(i,head,tail) q[i].fi.fi=q[i].fi.fi*2-1,q[i].fi.se=q[i].fi.se*2-1,q[i].se*=2;For(k,X){       while (q[head].se<2&&head<=tail) ++head;if (head>tail) {tian3(l,x);q[++tail]=mp(mp(1,l/2+1),l/2);q[++tail]=mp(mp(l/2+1,1),l/2);q[++tail]=mp(mp(l/2+1,l/2+1),l/2);if (++k>X) break;//draw();}plus3(q[head].fi.fi,q[head].fi.se,q[head].se,x); ++head;}cout<<l<<endl;draw();
//  draw2();
}int main() {l=1; a[1][1]=1; int x=1;while(cin>>n) {if (n==2||n==5||n==3) {puts("Impossible");return 0;}else {puts("Possible");           int l=16*9;int x,y;{RepD(x,n+1) {if (n-1-3*x>=0 && (n-1-3*x)%8==0) {y=(n-1-3*x)/8;//      cout<<n<<' '<<x<<' '<<y<<endl;work(x,y);return 0;}}}if (n==6) {cout<<"3"<<endl;puts("1 1 2");puts("1 1 3");puts("6 5 4");return 0;   }if (n==8) {puts("4");puts("1 1 1 2");puts("1 1 1 8");puts("1 1 1 7");puts("3 4 5 6");return 0;   }if (n==11) {puts("8");puts("1 1 1 2 2 2 3 3");puts("1 1 1 2 2 2 3 3");puts("1 1 1 2 2 2 6 6");puts("4 4 4 5 5 5 6 6");puts("4 4 4 5 5 5 7 7");puts("4 4 4 5 5 5 7 7");puts("8 8 9 9 10 10 11 11");puts("8 8 9 9 10 10 11 11");return 0;   }if (n==14) {puts("9");puts("1 1 2 2 3 3 10 10 10");puts("1 1 2 2 3 3 10 10 10");puts("4 4 5 5 6 6 10 10 10");puts("4 4 5 5 6 6 11 11 11");puts("7 7 8 8 9 9 11 11 11");puts("7 7 8 8 9 9 11 11 11");puts("12 12 12 13 13 13 14 14 14");puts("12 12 12 13 13 13 14 14 14");puts("12 12 12 13 13 13 14 14 14");return 0;   }if (n==17) {puts("14");puts("1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 5 5");puts("1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 5 5");puts("1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 7 7");puts("1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 7 7");puts("1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 9 9");puts("1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 9 9");puts("3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 11 11");puts("3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 11 11");puts("3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 13 13");puts("3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 13 13");puts("3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 15 15");puts("3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 15 15");puts("6 6 8 8 10 10 12 12 14 14 16 16 17 17");puts("6 6 8 8 10 10 12 12 14 14 16 16 17 17");return 0;   }   }}return 0;
}

刚才那个做法太麻烦了，我们考虑3个初始状态，分别是
1，6(九宫格其中4个合并成1个），8（16宫格9个合并成一个），然后不停划十字，小数据手推

受6和8的影响，我们考虑2个正方形对角抵在一起，剩下全用1*1填的情况

这题可以胡乱构造出来真心。

The Kirakira Cycle

题意：已知fn(x)=∑ni=1(xmodi)f_n(x)=\sum_{i=1}^n(x \mod i) ，构成了一个x到fn(x)f_n(x)的映射，这定义了一张图，对于每个点x只有一条有向边从该点出发，指向fn(x)f_n(x),那么请问图中最大环的长度，只有n≤104n \le 10^4是已知的。

毫无规律，只好打表，问题是怎么打。
显然fn(x)−fn(x−1)=n−∑d<=nd|xdf_n(x)-f_n(x-1)=n-\sum_{d|x}^{d
而且最长环出现的数主要在[3/20(1+2+...+n),3/10(1+2+...+n)][3/20(1+2+...+n),3/10(1+2+...+n)]
于是根据这个对于n太大的情况打表，小数据暴力。
还有随机的作法：因为链很长，所以在那个区间找10个点当起点试试就行了。（没试过）

XOR Tree

一棵树n个节点，编号1..n，构造一颗树，使至少n＋1对节点满足路径上节点编号的xor和为零。

小数据爆搜，大数据构造，
大致思路是构造太阳
举例：

Moscow SU Trinity Contest

Green Day

题意：给定k≤100k \le 100，求k个树，这些树节点数相同，且任意2图不出现下列情况：
存在两点(u,v)，两棵树中路径(u,v)都经过不为u,v的点c
求任意解

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <functional>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
#define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define Fork(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
#define Rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define ForD(i,n) for(int i=n;i;i--)
#define ForkD(i,k,n) for(int i=n;i>=k;i--)
#define RepD(i,n) for(int i=n;i>=0;i--)
#define Forp(x) for(int p=Pre[x];p;p=Next[p])
#define Forpiter(x) for(int &p=iter[x];p;p=Next[p])
#define Lson (o<<1)
#define Rson ((o<<1)+1)
#define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a));
#define MEMI(a) memset(a,127,sizeof(a));
#define MEMi(a) memset(a,128,sizeof(a));
#define INF (500000000000LL)
#define F (100000007)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define vi vector<int>
#define pi pair<int,int>
#define SI(a) ((a).size())
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
ll mul(ll a,ll b){return (a*b)%F;}
ll add(ll a,ll b){return (a+b)%F;}
ll sub(ll a,ll b){return (a-b+llabs(a-b)/F*F+F)%F;}
void upd(ll &a,ll b){a=(a%F+b%F)%F;}
int read()
{int x=0,f=1; char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}while(isdigit(ch)) { x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}return x*f;
} int main() {int k=read();cout<<2*k<<endl;For(i,k) {Fork(j,i+1,k) cout<<i<<' '<<j<<endl << i+k <<' '<< j+k <<endl;Fork(j,1,i-1) cout<<i+k<<' '<<j<<endl << i<<' '<<j+k<<endl;cout<<i<<' '<<i+k<<endl;}return 0;
}

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