疯子的算法总结(一) 位运算（快速幂、快速乘）

一、预备知识（补码，反码）

计算机通过二进制表示整形数，比如int型32位有符号整形数：
1表示为：0000…00001(共32位）
-1表示为：1111…1111(共32位）
补码计算法定义：非负数的补码是其原码本身；
负数的补码是其绝对值的原码最高位符号位不变，其它位取反，再加1。
表示原因：计算机逻辑运算没有减法，-1+1最高为溢出，剩余0000000000（32位）即为0；
则有a-b=a+b的（补码）；
计算方式：
-1表示原码为100…0001(32位），最高位位符号位。
-1的反码表示为：1111…110(32位），除符号位按位取反。
-1的补码表示为：1111…1111(32位），反码+1。
正数的补码为自己本身。
例子：
100的补码‭00000000000000000001100100‬
-30的补码 11111111111111111111111100010‬
100+（-30）=000000000000000000‭01000110‬
转换成10进制为70；

二、基本操作

1、按位与(&)

参加运算的两个数，换算为二进制(0、1)后，进行与运算。只有当相应位上的数都是1时，该位才取1，否则该为为0。

将10与-10进行按位与(&)运算：

0000 0000 0000 1010
1111 1111 1111 0110
0000 0000 0000 0010

所以：10 & -10 = 0000 0000 0000 0010
2、按位或(|)

参加运算的两个数，换算为二进制(0、1)后，进行或运算。只要相应位上存在1，那么该位就取1，均不为1，即为0。

将10与-10进行按位或(|)运算：

0000 0000 0000 1010
1111 1111 1111 0110
1111 1111 1111 1110

所以：10 | -10 = 1111 1111 1111 1110
3、按位异或(^)

参加运算的两个数，换算为二进制(0、1)后，进行异或运算。只有当相应位上的数字不相同时，该为才取1，若相同，即为0。

将10与-10进行按位异或(^)运算：

0000 0000 0000 1010
1111 1111 1111 0110
1111 1111 1111 1100

所以：10 ^ -10 = 1111 1111 1111 1100
可以看出，任何数与0异或，结果都是其本身。利用异或还可以实现一个很好的交换算法，用于交换两个数，算法如下：

a = a ^ b;
b = b ^ a;
a = a ^ b;

4、取反(~)

参加运算的两个数，换算为二进制(0、1)后，进行取反运算。每个位上都取相反值，1变成0，0变成1。
对10进行取反(~)运算：

0000 0000 0000 1010
1111 1111 1111 0101

所以：~10 = 1111 1111 1111 0101
5、左移(<<)

参加运算的两个数，换算为二进制(0、1)后，进行左移运算，用来将一个数各二进制位全部向左移动若干位。

对10左移2位(就相当于在右边加2个0)：

0000 0000 0000 1010
0000 0000 0010 1000

所以：10 << 2 = 0000 0000 0010 1000 = 40
注意，观察可以发现，左移一位的结果就是原值乘2，左移两位的结果就是原值乘4。

6、右移(>>)

参加运算的两个数，换算为二进制(0、1)后，进行右移运算，用来将一个数各二进制位全部向右移动若干位。

对10右移2位(就相当于在左边加2个0)：

0000 0000 0000 1010
0000 0000 0000 0010

所以：10 >> 2 = 0000 0000 0000 0010 = 2
注意，观察可以发现，右移一位的结果就是原值除2，左移两位的结果就是原值除4，注意哦，除了以后没有小数位的，都是取整。

三、延伸操作

1.快速幂（快速模幂）
①求a^b:

int pow(int a, int k)  { int ans = 1;while(k)  {if(k &1)  ans *= a;   //判断奇偶只用判断最后一位比取模快a *= a;k >>=1;     //比除法快多了}return ans;
}

②求a^b%p

int pow_mod(int a, int k,int mod)  { int ans = 1%mod;while(k)  {if(k &1)  ans =(long long) ans*a%mod;  //防止在对P取模前溢出a = (long long)a*a%mod;k >>=1;  //比除法快多了}return ans;}

例题：BZOJ1008
2.快速乘法
方法①

long long quickMul(long long a,long long b,long long mod)
{long long ans=0;while(b){if(b&1) ans=(ans+a)%mod;a=(a+a)%mod;  //（计算机加法比乘法快，a+a比a*2快）b>>=1;}return ans;
}

方法②：高效算法

long long quickMul(long long a,long long b,long long mod)
{a%=mod;b%=mod;long long  ans=0;while(b){if(b&1){ans+=a;if(ans>=mod)ans-=mod;}b>>=1;a<<=1;if(a>=mod)  a-=mod;}return ans;
}

方法③：使用long double优化版

long long quickMul(long long a,long long b,long long mod)
{a%=mod;b%=mod;long long c=(long double) a*b/mod;long long ans=a*b-c*mod;if(ans<0) ans+=mod;else if(ans>=mod) ans-=mod;return ans}

在这里仅提到部分操作，在ACM学习中，还有更多的操作可以用位运算。