1.什么是线性回归？

用线性关系去拟合输入和输出。

设输入为x，则输出y=ax+b。

对于多元的情况y=b×1+a₁x₁+a₂x₂+...+a_nx_n。

用θ表示系数，可以写作：

其中，x₀=1。

2.线性回归有什么用？

对于连续输入和输出的问题，如果线性回归可以较好的拟合输入和输出，那么可以用这个模型预测其它输入时的输出。

反过来想：如果线性回归可以较好的拟合输入和输出，那么说明输出和输入有很强的线性相关性，可以识别输入中的冗余信息。

3.怎么判断是否较好的拟合？

初步考虑，就是当使用模型时的输出、和真实的输出有多大偏差，选择一个方法量化这个偏差。

每个样本输入模型时，均会产生一个偏差。

线性回归中，通过求这些偏差的平方平均值，来判断偏差的程度。写作：

其中实际输出为y，模型输出为h，上标i是指每个样本。系数在平方平均值的基础上除以2。

判断偏差的这个方程起名叫 Cost Function。当偏差越小、即Cost Function的值越小时，拟合的越好。

4.怎么训练模型？

训练模型的目的在于实现较好的拟合，也就是说使Cost Function的值尽量小。

训练在这里，就是选择一组系数θ（模型确定以后，模型的参数就是系数θ们），实现上面的目的。

微积分学过，可以对θ求偏导数等于0的点，直接得到极值点。

按照Andrew Ng的课件，当参数个数大于10000个时，直接求极值点时间太长，需要选择别的办法。

5.怎样训练模型：梯度下降。

顾名思义，就是沿着梯度下降。选择一个合适的步长α，一步一步改变θ，使Cost Function的值不断减小。

其中，θ_j表示各个系数。:=前面的冒号表示每个θ_j同时改变。

走多少步？和怎么判断模型训练好了呢？最好是观察每次θ_j改变后，J(θ)的值的变化。

最开始θ_j等于多少呢？最开始，随便选一组值就可以。

步长α应该选多大呢？要通过手动尝试，“找”到合适的值。

最后，经过多次迭代后，算法得到一组θ，使Cost Function的值比较小。

6.matlab实现一个线性回归。

%一个特征的输入参数
X1=[0.50,0.75,1.00,1.25,1.50,1.75,1.75,2.00,2.25,2.50,2.75,3.00,3.25,3.50,4.00,4.25,4.50,4.75,5.00,5.50];
X0=ones(size(X1));
X=([X0;X1])';
y=([10, 22, 13, 43, 20, 22, 33, 50, 62, 48, 55, 75, 62, 73, 81, 76, 64, 82, 90, 93])';

%梯度下降参数设计
alpha=0.001;%当alpha大于1时就不收敛了
theta=[2;3];%选哪个点作为起点似乎对收敛速度影响不大
times=2000;%迭代次数

for i=1:times
delta=X*theta-y;%求偏导数
theta=theta-alpha.*(X'*delta);%梯度下降
J(i)=delta'*delta;%求此时的Cost Function值
end

%观察Cost Function值随迭代次数的变化
% plot(J);
%观察拟合情况
stem(X1,y);
p2=X*theta;
hold on;
plot(X1,p2);

7.实际使用

实际使用线性回归时，先对输入数据进行优化。包括：1.将冗余的和无关的变量去掉；2.对于非线性关系，采用多项式拟合，将一个变量变为多个变量；3.将输入范围归一化。

小结

线性回归开始假设输入和输出存在线性关系，

然后使用线性回归模型h=θ^Tx，用Cost Function J(θ)评价拟合程度，

通过对J(θ)应用梯度下降算法逼近一组好的参数θ，从而得到一个适用的模型h。

线性回归的使用建立在“输入和输出存在线性关系”这一假设基础上，把一组特征映射到一个值。

使用起来，也许因为模型太简单，感觉不到“机器学习”的感觉。选用时也需要很多先验知识、针对特定情况，就像一般的编程处理问题一样。

在使用梯度下降的算法时，迭代的过程，有点“学习”的感觉。