正题

题目链接:https://loj.ac/p/6503

题目大意

nnn张卡mmm种，第iii种卡有aia_iai张，求所有排列中有kkk对相邻且相同的卡牌。

1≤n≤105,0≤k≤105,1≤m≤20000,∑i=1mai=n1\leq n\leq 10^5,0\leq k\leq 10^5,1\leq m\leq 20000,\sum_{i=1}^ma_i=n1≤n≤105,0≤k≤105,1≤m≤20000,∑i=1mai=n

解题思路

kkk对相邻的相同，就是可以分成有n−kn-kn−k组相同的。

考虑这个问题，把每组牌分成若干组插到不同位置，先不考虑这样可能插到相邻位置的情况我们后面可以再用容斥消掉。

那么对于一个aaa，分成iii组的方案就是(a−1i−1)\binom{a-1}{i-1}(i−1a−1)，因为排列，列出生成函数∑i=1a(a−1i−1)xii!\sum_{i=1}^a\binom{a-1}{i-1}\frac{x^i}{i!}∑i=1a(i−1a−1)i!xi。

然后用分治NTTNTTNTT乘起来，最后第iii项乘上一个i!i!i!就是方案了。

然后考虑容斥，枚举一个i≤n−ki\leq n-ki≤n−k然后相当于至少有kkk对相邻，现在要减去更多的，所以容斥系数就是(−1)n−k−i(n−ik)(-1)^{n-k-i}\binom{n-i}{k}(−1)n−k−i(kn−i)

时间复杂度O(nlog⁡nlog⁡m)O(n\log n\log m)O(nlognlogm)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,T=19,P=998244353;
struct Poly{ll a[N<<2],n;
}F[T+1];bool v[T+1];
ll m,n,k,w[N],inv[N],fac[N],r[N],x[N],y[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=buf*f[i+len]%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return;
}
void Mul(Poly &F,Poly &G){ll n=1;while(n<F.n+G.n-1)n<<=1;for(ll i=0;i<F.n;i++)x[i]=F.a[i];for(ll i=0;i<G.n;i++)y[i]=G.a[i];for(ll i=F.n;i<n;i++)x[i]=0;for(ll i=G.n;i<n;i++)y[i]=0;for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);NTT(x,n,1);NTT(y,n,1);for(ll i=0;i<n;i++)x[i]=x[i]*y[i]%P;NTT(x,n,-1);for(ll i=0;i<n;i++)F.a[i]=x[i];F.n=F.n+G.n-1;return;
}
ll FindA(){for(ll i=0;i<T;i++)if(!v[i]){v[i]=1;return i;}
}
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
ll NTT(ll l,ll r){if(l==r){ll x=FindA();for(ll i=1;i<=w[l];i++)F[x].a[i]=inv[i]*C(w[l]-1,i-1)%P;F[x].n=w[l]+1;return x;}ll mid=(l+r)>>1;ll ls=NTT(l,mid),rs=NTT(mid+1,r);Mul(F[ls],F[rs]);v[rs]=0;return ls;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld%lld",&m,&n,&k);inv[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;fac[0]=inv[0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;for(ll i=1;i<=m;i++)scanf("%lld",&w[i]);ll p=NTT(1,m),ans=0;for(ll i=n-k,f=1;i>=m;i--,f=-f)ans=(ans+f*F[p].a[i]*fac[i]%P*C(n-i,k)%P)%P;printf("%lld\n",(ans+P)%P);return 0;
}

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Loj#6503-「雅礼集训 2018 Day4」Magic【分治NTT】

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