51 NOD 1363 最小公倍数之和 (欧拉函数思维应用)

1363 最小公倍数之和

推式子

∑i=1nlcm(i,n)=n∑i=1nigcd(i,n)=n∑d∣n∑i=1nid(gcd(i,n)==d)=n∑d∣n∑i=1ndi(gcd(i,nd)==1)=n∑d∣ndϕ(d)+(d==1)2\sum_{i = 1} ^{n} lcm(i, n)\\ = n\sum_{i = 1} ^{n} \frac{i}{gcd(i, n)}\\ = n \sum_{d \mid n} \sum_{i = 1} ^{n} \frac{i}{d}(gcd(i, n) == d)\\ = n \sum_{d \mid n} \sum_{i = 1} ^{\frac{n}{d}}i (gcd(i, \frac{n}{d}) == 1)\\ = n \sum_{d \mid n} \frac{d \phi(d) + (d == 1)} {2}\\ i=1∑nlcm(i,n)=ni=1∑ngcd(i,n)i=nd∣n∑i=1∑ndi(gcd(i,n)==d)=nd∣n∑i=1∑dni(gcd(i,dn)==1)=nd∣n∑2dϕ(d)+(d==1)

接下来就是筛出n\sqrt nn内的质数，再通过递归算出所有的因数，然后加上所有的因数对答案的贡献，具体细节在代码中描述。

代码

/*Author : lifehappy
*/
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>#define mp make_pair
#define pb push_back
#define endl '\n'
#define mid (l + r >> 1)
#define lson rt << 1, l, mid
#define rson rt << 1 | 1, mid + 1, r
#define ls rt << 1
#define rs rt << 1 | 1using namespace std;typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;inline ll read() {ll f = 1, x = 0;char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-')    f = -1;c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);c = getchar();}return f * x;
}const int N = 1e5 + 10, mod = 1e9 + 7;int prime[N], cnt;bool st[N];void init() {for(int i = 2; i < N; i++) {if(!st[i]) prime[cnt++] = i;for(int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < N; j++) {st[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j] == 0) break;}}
}int fac[50], num[50], tot;ll ans;void solve(int pos, int n, int phi) {if(pos == tot + 1) {ans = (ans + 1ll * n * (phi + (n == 1)) / 2 % mod) % mod;//特判n为1的情况。return ;}solve(pos + 1, n, phi);//不选这个数的情况。n *= fac[pos], phi *= (fac[pos] - 1);//第一次选这个数要单独考虑，当两个数互质的时候phi[i * prime] = phi[i] * (prime - 1)solve(pos + 1, n, phi);for(int i = 1; i < num[pos]; i++) {n *= fac[pos], phi *= fac[pos];//这里就是不互质的情况了solve(pos + 1, n, phi);}
}int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);init();int T = read();while(T--) {tot = 0;int n = read(), m = n;for(int i = 0; prime[i] * prime[i] <= n; i++) {if(n % prime[i] == 0) {fac[++tot] = prime[i], num[tot] = 0;while(n % prime[i] == 0) {n /= prime[i];num[tot]++;}}}if(n != 1) {fac[++tot] = n, num[tot] = 1;}ans = 0;solve(1, 1, 1);printf("%lld\n", ans * m % mod);}return 0;
}

51 NOD 1363 最小公倍数之和 (欧拉函数思维应用)相关推荐

[51 nod 1238] 最小公倍数之和 V3（杜教筛）
1238 最小公倍数之和 V3 推式子 ∑i=1n∑j=1nlcm(i,j)=∑i=1n∑j=1nijgcd(i,j)=∑d=1n∑i=1n∑j=1nijd(gcd(i,j)==d)=∑d=1nd∑i ...
51 NOD 1238 最小公倍数之和 V3
原题链接最近被51NOD的数论题各种刷--(NOI快到了我在干什么啊! 然后发现这题在网上找不到题解--那么既然A了就来骗一波访问量吧-- (然而并不怎么会用什么公式编辑器,写得丑也凑合着看吧-- ...
51nod1040 最大公约数之和，欧拉函数或积性函数
1040 最大公约数之和给出一个n,求1-n这n个数,同n的最大公约数的和.比如:n = 6时,1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6,加在一起 = 15 看起来很简单 ...
51nod 1188 最大公约数之和 V2(欧拉函数)
1188 最大公约数之和 V2 思路用欧拉函数可以化简式子如下 ∑i=1n∑j=1i−1gcd(i,j)\sum_{i = 1} ^{n} \sum _{j = 1} ^{i - 1} gcd(i, ...
数论一之定理证明——裴蜀/威尔逊/费马/扩展欧几里得/[扩展]欧拉/[扩展]中国剩余定理，欧拉函数，逆元，剩余系，筛法
打死没想到会在H老师处学懂数论同余,整除模运算埃式筛法欧拉筛法最大公约数和最小公倍数辗转相除法更相减损术裴蜀定理威尔逊定理费马定理同余等价类.剩余系.缩系欧拉函数欧拉定理扩 ...
UvaLive7362 Fare（欧拉函数）
题意:求1~n的素因子之和. 分析:欧拉函数 1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<cctype> 4 ...
poj2154-color-polyan次二面体+欧拉函数优化
N<=1e9,O(nlogn)的做法会超时.从枚举置换转变为枚举轮换长度,然后可以利用欧拉函数,把复杂度变为O(√n * logn) 1 /*-------------------------- ...
hdu1395 数论欧拉函数
hdu1395 数论欧拉函数对于给出的每一个n 求最小正整数 x 满足 2^x mod n = 1 1.如果给出的n 是偶数或者 1 则一定无解 2.如果是奇数首先根据欧拉定理我们可知 p ...
欧拉函数的相关应用 noj欧拉函数求和+noj 最大公约数求和
注意求欧拉函数之和是每个因子的欧拉函数之和不是质因子.而欧拉函数的值是它本身与它的因子件事互质的关系,这样的因子有多少个.点击打开链接 #include<stdio.h> #include ...

51 NOD 1363 最小公倍数之和 (欧拉函数思维应用)

1363 最小公倍数之和

推式子

代码

51 NOD 1363 最小公倍数之和 (欧拉函数思维应用)相关推荐

最新文章

热门文章