一:前言:

关于石子合并,这个问题分为链型和环形两种,本题当中用的是环形,但我们在学习动态规划,所以多练肯定是有好处的,况且将链型的问题解决后,更容易理解环形的解决方法,所以本次题解分为两部分链型和环型两部分

二:石子合并(链型)

1.题目

题目】
设有N堆石子排成一排,其编号为1,2,3,
每堆石子有一定的质量,可以用一个整数来描述,现在要将这N堆石子
合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆,合并的代价为这两堆石子的质
量之和,合并时由于选择的顺序不同,含并的总代价也不相同。
问题是:找出一种合理的方法,使总的代价最小,输出最小代价。
输入格式】
第一行一个数,N表示石子的堆数。1≤N≤300
第二行N个数,表示每堆石子的质量(均不超过1000
输出格式】
输出一个整数,表示最小代价。
【输入样例】

5
1 3 4 2 5

【输出样例

2:思路:

思路:
1.判断动态规划
这里最终的结果，其求解过程也是跳跃性的，所以还是动态规划
2.分析题意
并且这里涉及到网格（就是建立二维数组），根据合并不同的堆
其合并的和是不一样的，故这里有涉及到划分，所以我们又可以
联想到相似的解法（矩阵链相乘）
3.求其递推方程
其递推方程：m[i][j] = m[i][k]+m[k+1][j] + sum [j] - sum [i -1];
4.递推方程的解释：
前面的m[i][k] 和 m[k+1][j] ：i到k合并成一堆，k+1到j又合并成一堆
后面的sum[j] - sum[i -1]: 这里表示的是刚形成的两堆再合并到一块的石子数
也就是用前缀和来求区间和
比如有（1，2，3，4，5，6）这里表示的是有6堆石子
现在我们求m[3][6] = m[3][4]+m[5][6] + sum[6] - sum[2]

                           sum[6]:表示的是将这6堆全部合并在一起 sum[2]:表示的是将前两堆合并在一起现在我们要求后4堆的和 那不就是sum[6] - sum [2];

3.上码


/**思路:1.判断动态规划  这里最终的结果，其求解过程 也是跳跃性的，所以还是动态规划2.分析题意 并且这里涉及到网格（就是建立二维数组），根据合并不同的堆其合并的和是不一样的，故这里有涉及到划分，所以我们又可以联想到相似的解法（矩阵链相乘）3.求其递推方程   其递推方程：m[i][j] = m[i][k]+m[k+1][j] + sum [j] - sum [i -1];4.递推方程的解释：前面的m[i][k] 和 m[k+1][j] ：i到k合并成一堆，k+1到j又合并成一堆后面的sum[j] - sum[i -1]: 这里表示的是刚形成的两堆 再合并到一块的石子数也就是用前缀和来求区间和 比如有（1，2，3，4，5，6）这里表示的是有6堆石子现在我们求m[3][6] = m[3][4]+m[5][6] + sum[6] - sum[2] sum[6]:表示的是将这6堆全部合并在一起 sum[2]:表示的是将前两堆合并在一起现在我们要求后4堆的和 那不就是sum[6] - sum [2];        */// 我们要求的是最小次数 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define infinite 99 int main(){int N;int m[100][100];//注意二维数组不能开的太大 cin >> N;int sum[N+1];//求前缀和int a[N+1];//记录每堆的石子数量 //因为我们要求的是最小次数 故我们将数组先进行赋最大值for(int i = 0; i < 100; i++){for(int j = 0; j < 100; j++){m[i][j] = infinite; }} for(int i = 1; i <= N; i++){cin >> a[i];sum[i] = sum[i-1] + a[i];//记录前缀和 m[i][i] = 0;//自己 到自己肯定不能合并啊   }//  for(int i = 0; i <= N; i++){//      cout << sum[i] << ' ';
//  }
//  //开始更新网格for(int i = N; i >= 1; i--){for(int j = i + 1; j <= N; j++){//这里的i+1是指的是在i后面进行划分 m[i][j] = m[i][i] + m[i+1][j] + sum[j] - sum[i - 1];for(int k = i+1; k < j; k++){//这里的i+1指的是在i后面进行划分  k < j 指的是k在j之前划分 int temp = m[i][k] + m[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1];if(temp < m[i][j]){m[i][j] = temp;}}        }} //   for(int i = 1; i <= N; i++){//      for(int j = 1; j <= N; j++){//          cout << m[i][j] << ' ' << ' ' << ' ' << ' ';
//      }
//      cout << endl;
//  }cout << m[1][N]; }//测试用例一:
//5
//1 3 4 2 5//34//测试用例二：
//4
//4 5 9 4
//0    9    27    44
//0    0    14    31
//0    0    0    13
//0    0    0    0//44

三:石子合并(环形 (本题题解7-10))

1.题目:

在一个圆形操场的四周摆放 N 堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的 2 堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出一个算法,计算出将 N 堆石子合并成 1 堆的最小得分和最大得分。

输入格式:
数据的第 1 行是正整数 N ，表示有 N 堆石子。

第 2 行有 N 个整数，第 i 个整数 a
i

表示第 i 堆石子的个数。

输出格式:
输出共 2 行，第 1 行为最小得分，第 2 行为最大得分。

输入样例:

4
4 5 9 4

输出样例:

43
54

2.思路:

思路：这里是环形的，我们把环形的每次连接的地方依次剪开，变成链型的
那么就有一种思路就是将输入的数组复制两次，那么的话，我们每次一次
取出N个元素，就实现了，不同的链接处的分割,然后求出最后结果时候
根据划分的不同我们按最大或或最小值选取最后的结果

3.上码:


/**思路：这里是环形的，我们把环形的每次连接的地方依次剪开，变成链型的那么就有一种思路 就是将输入的数组复制两次，那么的话，我们每次一次取出N个元素，就实现了，不同的链接处的分割*/ #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int main(){int N;int max_tone[300][300];int min_tone[300][300];cin >> N;int a[2*N+1];int sum[2*N+1];sum[0] = 0;//需要给sum[0] 赋初值,否则sum[0] 是个很大的数 //  //注意下方的代码：数组的列均变为原来的2倍 行是不变的
//  for(int i = 0; i <= N; i++){//      for(int j = 0; j <= 2*N; j++){//          max_tone[i][j] = 0;
//          min_tone[i][j] = 9999;
//      }
//  }for(int i = 1; i <= N; i++){cin >> a[i];a[i+N] = a[i];}for(int i = 1; i <= 2*N; i++){sum[i] = sum[i-1] + a[i];max_tone[i][i] = 0;min_tone[i][i] = 0;}//  for(int i = 0; i <= 2*N; i++){//      cout << sum[i] << ' ';
//  }
//  //开始更新网格for(int i = 2*N; i >= 1; i--){for(int j = i+1; j < i+N && j <= 2*N; j++){//这里的j < i+N,是确定每次划分的范围为N个 max_tone[i][j] = max_tone[i][i] + max_tone[i+1][j] + sum[j] - sum[i-1];min_tone[i][j] = min_tone[i][i] + min_tone[i+1][j] + sum[j] - sum[i-1];for(int k = i + 1; k < j; k++){int temp1 = max_tone[i][k] + max_tone[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1];int temp2 = min_tone[i][k] + min_tone[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1];//求取最大值 if(temp1 > max_tone[i][j]){max_tone[i][j] = temp1;} //求取最小值if(temp2 < min_tone[i][j]){min_tone[i][j] = temp2;}     }       } } //
//      for(int i = 1; i <= N; i++){//      for(int j = 1; j <= 2*N; j++){//          cout << min_tone[i][j] << ' ';
//      }
//      cout << endl;
//  }//因为 我们从合并的两个数组中每次选取出N个元素,即1到N,2到N+1,N到i+N-1为止,再往下就出现重复了int maxx = 0,minn = 9999;for(int i = 1; i <= N; i++){maxx = max(max_tone[i][i+N-1],maxx);minn = min(min_tone[i][i+N-1],minn); } cout  << minn << endl << maxx; } //4
//4 5 9 4//0 9 27 44 0 0 0 0
//0 0 14 31 44 0 0 0
//0 0 0 13 25 43 0 0
//0 0 0 0 8 21 43 0//0 9 27 36 0 0 0 0
//0 0 14 23 35 0 0 0
//0 0 0 9 17 31 0 0
//0 0 0 0 4 13 31 0

这个图是给我自己看的太乱了啊方便我理解当时候我的思路怕草稿本子丢了，找不到当初的想法了

四:总结

如果看到我前面的题解,你会发现,代码思路几乎一致,都是划分网格,推出递推方程,本题的题解其实和前面的矩阵连相乘思路相似,所以兄弟们,请认真做每一道题,思路都是融会贯通的,算法题本来就很难理解,所以需要很长时间去打磨,注意题解当中的每次的取值范围,均需想明白!!

五:数据结构和算法分析思维导图

如果想看一下的我们知识体系, 我分享一张我收藏的思维导图(仅供参考)

加油boy!成功本就不易,我们共勉有疑问可以留言!!!

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7-10 石子合并 (10 分)

一:前言:

二:石子合并(链型)

1.题目

2:思路:

3.上码

三:石子合并(环形 (本题题解7-10))

1.题目:

2.思路:

3.上码:

四:总结

五:数据结构和算法分析思维导图

加油boy!成功本就不易,我们共勉有疑问可以留言!!!

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2.思路:

3.上码:

四:总结

五:数据结构和算法分析思维导图

加油boy!成功本就不易,我们共勉 有疑问可以留言!!!

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