非线性整数规划模型

考虑下面的非线性整数规划

max⁡3y+xzs.t.2y+3z⩽12x+y⩽1x,y,∈{0,1}，0⩽z⩽100\begin{aligned} \max \quad \,\,\,& 3y + xz \\ s.t. \quad \,\,\,& 2y + 3z \leqslant 12 \\ & x + y \leqslant 1 \\ & x, y, \in \{0, 1\}， 0 \leqslant z \leqslant 100 \end{aligned} maxs.t.3y+xz2y+3z⩽12x+y⩽1x,y,∈{0,1}，0⩽z⩽100

Gurobi求解代码

from gurobipy import *
model = Model('non-linear model')
x = model.addVar(lb=0, ub=1, vtype=GRB.BINARY, name='x')
y = model.addVar(lb=0, ub=1, vtype=GRB.BINARY, name='y')
z = model.addVar(lb=0, ub=100, vtype=GRB.CONTINUOUS, name='z') model.setObjective(3 * y + x*z, GRB.MAXIMIZE)
model.addConstr(2 * y + 3*z <= 12)
model.addConstr(x + y <= 1) model.optimize() print('x:', x.x)
print('y:', y.x)
print('z:', z.x)

求解结果

Optimal solution found (tolerance 1.00e-04)
Best objective 4.000000000000e+00, best bound 4.000000000000e+00, gap 0.0000%
x: 1.0
y: 0.0
z: 4.0

线性化

令 w=xzw=xzw=xz，且w∈[0,U]w\in [0, U]w∈[0,U]
引入下面的辅助约束
w⩽Uxw⩽zw⩾z−U(1−x)\begin{aligned} &w \leqslant Ux \\ &w \leqslant z \\ &w \geqslant z - U(1-x) \end{aligned} w⩽Uxw⩽zw⩾z−U(1−x)

原模型等价为

max⁡3y+xzs.t.2y+3z⩽12x+y⩽1w⩽Uxw⩽zw⩾z−U(1−x)x,y,∈{0,1}，0⩽z,w⩽U\begin{aligned} \max \quad \,\,\,& 3y + xz \\ s.t. \quad \,\,\,& 2y + 3z \leqslant 12 \\ & x + y \leqslant 1 \\ &w \leqslant Ux \\ &w \leqslant z \\ &w \geqslant z - U(1-x) \\ & x, y, \in \{0, 1\}， 0 \leqslant z, w \leqslant U \end{aligned} maxs.t.3y+xz2y+3z⩽12x+y⩽1w⩽Uxw⩽zw⩾z−U(1−x)x,y,∈{0,1}，0⩽z,w⩽U

具体推导见视频详解。
令
w=xz\begin{aligned} w=xz \end{aligned} w=xz
我们分为下面几种情况讨论：

情况1
ifx=0,thenw=0\text{if}\,\,x=0 , \text{then}\,\,w=0ifx=0,thenw=0, 容易得到w−Mx⩽0w-Mx\leqslant 0w−Mx⩽0, 整理得w⩽Mxw\leqslant Mxw⩽Mx,这里MMM是www的一个上界即可，我们取最紧的上界，即M=UM=UM=U。因此该式化简为

w⩽Ux\begin{aligned} &w\leqslant Ux \end{aligned} w⩽Ux
另外，我们易得
w⩽z\begin{aligned} &w\leqslant z \end{aligned} w⩽z

情况2
ifx=1,thenw=z\text{if}\,\,x=1, \text{then}\,\,w= zifx=1,thenw=z, 由于逻辑约束不能写等号，因此我们将===分成2个。

（1） ifx=1,thenw⩾z\text{if}\,\,x=1, \text{then}\,\,w\geqslant zifx=1,thenw⩾z, 此时if1−x=0,thenz−w⩽0\text{if}\,\,1-x=0, \text{then}\,\,z-w\leqslant 0if1−x=0,thenz−w⩽0, 也就是z−w−M(1−x)⩽0z-w-M\left( 1-x \right) \leqslant 0z−w−M(1−x)⩽0, 进而得到
w⩾z−M(1−x)\begin{aligned} &w\geqslant z-M\left( 1-x \right) \end{aligned} w⩾z−M(1−x)
这里仍然取M=UM=UM=U。

（2） ifx=1,thenw⩽z\text{if}\,\,x=1, \text{then}\,\,w\leqslant zifx=1,thenw⩽z, 此时if1−x=0,thenw−z⩽0\text{if}\,\,1-x=0, \text{then}\,\,w-z\leqslant 0if1−x=0,thenw−z⩽0, 也就是w−z−M(1−x)⩽0w-z-M\left( 1-x \right) \leqslant 0w−z−M(1−x)⩽0, 进而得到
w⩽z+M(1−x)\begin{aligned} &w\leqslant z + M\left( 1-x \right) \end{aligned} w⩽z+M(1−x)
这里仍然取M=UM=UM=U。

这样，ifx=1,thenw⩾z\text{if}\,\,x=1, \text{then}\,\,w\geqslant zifx=1,thenw⩾z

并且， ifx=1,thenw⩽z\text{if}\,\,x=1, \text{then}\,\,w\leqslant zifx=1,thenw⩽z

同时约束，就得到了ifx=1,thenw=z\text{if}\,\,x=1, \text{then}\,\,w = zifx=1,thenw=z.

但是其实，ifx=1,thenw⩽z\text{if}\,\,x=1, \text{then}\,\,w\leqslant zifx=1,thenw⩽z是不需要的，因为前面已经有了
w⩽zw\leqslant zw⩽z的约束，因此，约束

w⩽z+M(1−x)\begin{aligned} &w\leqslant z + M\left( 1-x \right) \end{aligned} w⩽z+M(1−x)

可以被约束w⩽zw \leqslant zw⩽z给dominate掉，也就是说，w⩽z+M(1−x)w\leqslant z + M\left( 1-x \right)w⩽z+M(1−x)是冗余的。

下面我们用代码进行验证。

from gurobipy import *
model = Model('non-linear model')
x = model.addVar(lb=0, ub=1, vtype=GRB.BINARY, name='x')
y = model.addVar(lb=0, ub=1, vtype=GRB.BINARY, name='y')
z = model.addVar(lb=0, ub=100, vtype=GRB.CONTINUOUS, name='z')
w = model.addVar(lb=0, ub=100, vtype=GRB.CONTINUOUS, name='w') model.setObjective(3 * y + w, GRB.MAXIMIZE)
model.addConstr(2 * y + 3*z <= 12)
model.addConstr(x + y <= 1)
model.addConstr(w <= 100 * x)
model.addConstr(w <= z)
model.addConstr(w >= z - 100 * (1 - x))
# model.addConstr(w <= z + 100 * (1 - x))
model.optimize() print('x:', x.x)
print('y:', y.x)
print('z:', z.x)
print('w:', w.x)

求解结果为

Optimal solution found (tolerance 1.00e-04)
Best objective 4.000000000000e+00, best bound 4.000000000000e+00, gap 0.0000%
x: 1.0
y: 0.0
z: 4.0
w: 4.0

可见结果是一致的。

总结

一个0-1变量xxx和一个连续变量zzz相乘，0⩽z⩽U0\leqslant z \leqslant U0⩽z⩽U，则可以用下面3个约束以及一个辅助变量等价线性化。

引入辅助变量w=xzw=xzw=xz, 且w∈[0,U]w \in [0, U]w∈[0,U].

加入下面的3个约束
w⩽Uxw⩽zw⩾z−U(1−x)\begin{aligned} &w \leqslant Ux \\ &w \leqslant z \\ &w \geqslant z - U(1-x) \end{aligned} w⩽Uxw⩽zw⩾z−U(1−x)

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