【集合论】关系闭包 ( 自反闭包 | 对称闭包 | 传递闭包 )
文章目录
- 一、关系闭包
- 二、自反闭包
- 三、对称闭包
- 四、传递闭包
一、关系闭包
包含给定的元素 , 并且 具有指定性质 的 最小的 集合 , 称为关系的闭包 ; 这个指定的性质就是关系 RRR
自反闭包 r ( R ) : 包含 RRR 关系 , 向 RRR 关系中 , 添加有序对 , 变成 自反 的 最小的二元关系
对称闭包 s ( R ) : 包含 RRR 关系 , 向 RRR 关系中 , 添加有序对 , 变成 对称 的 最小的二元关系
传递闭包 t ( R ) : 包含 RRR 关系 , 向 RRR 关系中 , 添加有序对 , 变成传递 的 最小的二元关系
定义中有三个重要要素 :
- 包含给定元素
- 具有指定性质
- 最小的二元关系
二、自反闭包
自反闭包 r ( R ) : 包含 RRR 关系 , 向 RRR 关系中 , 添加有序对 , 变成 自反 的 最小的二元关系
R⊆r(R)R \subseteq r(R)R⊆r(R)
r(R)r(R)r(R) 是自反的
∀S((R⊆S∧S自反)→r(R)⊆S)\forall S ( ( R \subseteq S\land S 自反 ) \to r(R) \subseteq S)∀S((R⊆S∧S自反)→r(R)⊆S)
关系 RRR 的关系图 G(R)G(R)G(R) :
RRR 的自反闭包 G(r(R))G(r ( R ))G(r(R)) 关系图 : 在 RRR 的基础上 , 添加有些有序对 , 使 r(R)r(R)r(R) 变成 自反 的 最小的二元关系 , 自反的条件是所有的顶点都有环 , 这里为四个顶点都添加环 ;
三、对称闭包
自反闭包 r ( R ) : 包含 RRR 关系 , 向 RRR 关系中 , 添加有序对 , 变成 对称 的 最小的二元关系
R⊆s(R)R \subseteq s(R)R⊆s(R)
s(R)s(R)s(R) 是对称的
∀S((R⊆S∧S对称)→r(R)⊆S)\forall S ( ( R \subseteq S\land S 对称 ) \to r(R) \subseteq S)∀S((R⊆S∧S对称)→r(R)⊆S)
关系 RRR 的关系图 G(R)G(R)G(R) :
RRR 的对称闭包 G(s(R))G(s ( R ))G(s(R)) 关系图 : 在 RRR 的基础上 , 添加有些有序对 , 使 s(R)s(R)s(R) 变成 对称 的 最小的二元关系 , 对称的条件是 任意两个顶点之间有 0/20/20/2 条有向边 , 有 000 条边的不管 , 有 111 条边的在添加一条反向有向边 ;
四、传递闭包
自反闭包 r ( R ) : 包含 RRR 关系 , 向 RRR 关系中 , 添加有序对 , 变成 传递 的 最小的二元关系
R⊆t(R)R \subseteq t(R)R⊆t(R)
t(R)t(R)t(R) 是对称的
∀S((R⊆S∧S传递)→r(R)⊆S)\forall S ( ( R \subseteq S\land S 传递 ) \to r(R) \subseteq S)∀S((R⊆S∧S传递)→r(R)⊆S)
关系 RRR 的关系图 G(R)G(R)G(R) :
RRR 的对称闭包 G(t(R))G(t ( R ))G(t(R)) 关系图 : 在 RRR 的基础上 , 添加有些有序对 , 使 t(R)t(R)t(R) 变成 传递 的 最小的二元关系 , 传递的条件是 ① 前提 a→b,b→ca\to b, b \to ca→b,b→c 成立 , a→ca \to ca→c 存在 , 或 ② 前提不成立 , 前提不成立的情况下不管默认就是传递的 , 如果前提成立 , 则必修添加对应的第三条边 ;
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