平面与空间射影几何小结——空间射影几何

  • 射影空间
    • 空间平面
      • 空间平面上的无穷远直线表示
        • 平行关系判定
      • 三点确定一个平面
        • 三点确定平面的具体计算方法
      • 三个平面确定一点
      • 平面点的参数化
    • 空间直线
      • 直线的点表示（矩阵W包含两个点）
        • L点束与过轴L平面束（W）
      • 直线的面表示（矩阵W*包含两个面）
        • L点束与过轴L平面束（W*）
    • M与M*矩阵（W与W*的拓展）
      • 直线的Plucker 矩阵表示（两点构成矩阵L）
        • L点束与过轴L平面束（Plucker L）
      • 直线的对偶Plucker 矩阵表示（两面构成矩阵L*）
        • L*与L的关系（表示同一条直线）
      • Plucker 矩阵结论
        • L*与线外一点X确定一平面
        • 直线与平面的交点
        • 两(或更多)条线 L1, L2 的性质，可以由矩阵M = (L1, L2, …)的零空间推出。
      • 直线的Plucker 坐标
        • ( L | L^）判断两直线相交（共面）
      • 共线平面束的交比
        • 平面Mobius公式计算四共点线交比（将线束交比计算转换为点交比）
        • 平面束的交比
        • 共线平面束Mobius公式
  • 三维射影变换
    • 三维射影变换
      • 点的射影变换规则（5 点确定三维射影变换）
    • 平面与直线的变换规则
      • 平面射影变换规则
      • 直线Plucker 矩阵L的变换规则
  • 二次曲面与变换规则
    • 二次曲面的基本性质
      • 自由度
      • 直线与Q的交点
      • 平面π 与二次曲面Q 的交是一条二次曲线；
      • 二次曲面相交为四次曲线
      • 非退化的二次曲面切面与切点
      • 二次曲面的配极对应
      • 二次曲面变换规则
    • 二次曲面的对偶
      • 非退化二次曲面的对偶（det(Q) ≠ 0）
      • 锥面的对偶（rank(Q) = 3）
        • 广义逆矩阵
      • 空间二次曲线的对偶
      • 对偶二次曲面的变换规则
    • 绝对二次曲线与绝对二次曲面
      • 绝对二次曲线（无穷远面π∞上的二次曲线Ω∞）
        • ？空间中如何表示一个面的无穷远直线？
      • 射影空间中两直线的夹角
      • 绝对二次曲面
        • 两平面的夹角
      • 代数表示的几何解释
    • 三维射影变换群的子群
      • 仿射变换群
        • 仿射不变量
      • 相似变换群
        • 相似不变量
      • 等距变换群
      • 二次曲面的分类
        • 度量分类
        • 仿射分类
        • 射影分类
  • 射影坐标系与射影坐标变换
    • 射影坐标系
    • 射影坐标变换

射影空间

空间平面



平面在三维空间中有 3 自由度。

空间平面上的无穷远直线表示

无穷远直线=平面法向量

点在无穷远平面上，则w=0，且点还在平面上，所以得到上述方程。

平行关系判定

三点确定一个平面

  1. 三点不共线，确定一个平面。
  2. 三点共线，确定一个以直线L为轴的平面束。

三点确定平面的具体计算方法


另一种解法：

三个平面确定一点

一般位置上的三个平面能唯一确定一个点(有可能是无穷远点)。

如果三个面共一条直线 L，此时系数矩阵有二维(右)零空间，因而不能唯一确定点X，实际上在直线L上的所有点都满足方程。

平面点的参数化

空间直线

这是因为对于直线上任何一个异于A、B 的点C，有C = A + sB。

直线的点表示（矩阵W包含两个点）

L点束与过轴L平面束（W）

  1. 线性组合为L上的点束。
  2. 右零空间为过轴的平面束。

直线的面表示（矩阵W*包含两个面）


L点束与过轴L平面束（W*）

  1. 线性组合为过轴的平面束。
  2. 右零空间为L上的点束。

M与M矩阵（W与W的拓展）

直线的Plucker 矩阵表示（两点构成矩阵L）

L点束与过轴L平面束（Plucker L）

  1. 连结A，B 的直线是矩阵L的二维(右)零空间所确定的平面束的轴线。
  2. 空间直线有4 个自由度。因为反对称矩阵L 有6 个非零元素，但仅有5个比率是有意义的，另外L 满足约束det(L)=0，所以直线的自由度是4。

直线的对偶Plucker 矩阵表示（两面构成矩阵L*）

L*与L的关系（表示同一条直线）

A、B在P、Q上，推得

Plucker 矩阵结论

L*与线外一点X确定一平面

直线与平面的交点

两(或更多)条线 L1, L2 的性质，可以由矩阵M = (L1, L2, …)的零空间推出。

直线的Plucker 坐标

Plucker 直线坐标是4×4 反对称Plucker 矩阵L 的六个非零元素，即

( L | L^）判断两直线相交（共面）


由于两直线L, Lˆ 相交的充要条件是 4点A, B, Aˆ , Bˆ 共面，而4 点共面等价于det(A,B, Aˆ ,Bˆ ) =0。于是，我们有下述结论：

共线平面束的交比

平面Mobius公式计算四共点线交比（将线束交比计算转换为点交比）

  1. 四该共线点的交比等于该线束的交比
  2. 设线束的交点为 o，{xˆ j : j =1,…,4}分别为这四条直线上不同于o 的点
    则四共点线的交比可由Mobius 公式计算：

平面束的交比


四共线平面束被第五个平面所截，得到四条共点直线。定义平面束的交比为

共线平面束Mobius公式

三维射影变换

三维射影变换

三维射影变换是射影空间上的可逆齐次线性变换，这个变换可由4 × 4 的矩阵H 来描述：
X ′ = HX
三维射影变换有15 个自由度，即射影变换矩阵可由它的元素所构成的15个比值唯一确定。
三维射影变换将空间上的点(线、面)变换到点(线、面)，并且保持点的共线(面)性、线的共面性等性质。
任何三维射影变换的逆变换都是三维射影变换、任意两个三维射影变换的合成(对应于两个单应矩阵的积)也是三维射影变换。
因此，三维射影变换的全体构成三维射影空间上的一个变换群，称它为三维射影变换群。

点的射影变换规则（5 点确定三维射影变换）


平面与直线的变换规则

平面射影变换规则


直线Plucker 矩阵L的变换规则

二次曲面与变换规则

总的来说联立已知方程求解应该可得到相关性质。

二次曲面的基本性质


其中Q 是4×4 的对称矩阵。如果Q 是降秩的，则称它为退化二次曲面，否则称为非退化二次曲面。
性质：

自由度

直线与Q的交点

平面π 与二次曲面Q 的交是一条二次曲线；
二次曲面相交为四次曲线

非退化的二次曲面切面与切点

二次曲面的配极对应



二次曲面变换规则

二次曲面的对偶

  1. 空间曲面的对偶是指以该曲面的切平面为基本元素在对偶空间(面空间)中所构成的曲面，通常称对偶曲面。
  2. 在一般情况下，二次曲面的对偶仍为一个二次曲面。
  3. 令Q 是一个二次曲面，它的对偶曲面记为Q*，按照对偶曲面的定义Q的基本元素是Q 的切平面，也就是说它是Q 的所有切平面所构成的平面集合，而Q 是Q中的所有平面所形成的包络。
  4. 在计算机视觉中，二次曲面的对偶，尤其是锥面与空间二次曲线的对偶具有特别的重要性。

非退化二次曲面的对偶（det(Q) ≠ 0）

二次曲面的对偶仍为一个二次曲面。
切平面π满足

锥面的对偶（rank(Q) = 3）

由于rank(Q) = 3，所以 Q 有一维零空间，并且零空间的元素是锥面 Q 的顶点 V 的齐次坐标，即QV=0 的非零解。

  1. V的对偶空间：满足方程VTπ =0，将V的坐标直接作为面，将π作为点。
  2. 锥面母线L上的点，除顶点外，都有相同的切平面πL，即母线L上所有点的对偶是同一“点” πL。
  3. 当母线L 绕基线C 运动时，πL 在对偶空间中的轨迹将是“平面” V 上的一条“点”曲线。所以，锥面的对偶是一条平面曲线。
  4. Q+为Q的广义逆。
广义逆矩阵

空间二次曲线的对偶

用面围出二次曲线，总结这些面满足的方程

对偶二次曲面的变换规则

绝对二次曲线与绝对二次曲面

绝对二次曲线（无穷远面π∞上的二次曲线Ω∞）

圆环点的升级版，变成了线。

下面不加证明地引进一些常用性质：
平面圆环点确定思路：X在绝对二次曲线上，X在π平面上，x4=0，联立求解x1,2,3相差一个比例系数。

？空间中如何表示一个面的无穷远直线？

射影空间中两直线的夹角



基本思想：在无穷远平面上是成立的，利用射影变换H可以将欧氏空间变换到一般射影空间，并且射影变换将平面映射为平
面（平面射影变换）。

绝对二次曲面

（对偶二次曲线是过圆环点的所有直线束）Q*∞ 是所有与 Ω∞ 相切的平面所构成的集合。



绝对二次曲面在射影坐标系下有8 个自由度，因为它是退化的对偶二次曲面。这8个自由度也是在一般射影坐标系下确定度量性质所要确定的自由度。

两平面的夹角

代数表示的几何解释

在三维计算机视觉中，尤其在摄像机自标定与三维重构理论中，绝对二次曲线和绝对二次曲面处于十分重要的地位。

可以将绝对二次曲线作为球面Qr 在r → ∞时的极限。

三维射影变换群的子群

仿射变换群

仿射不变量

1． 保持无穷远平面不变，即将无穷远点变换到无穷远点；
2． 保持直线与直线、直线与平面以及平面与平面之间的平行性；
3． 保持物体的体积比、平行图形(或在同一平面上的图形)的面积比、平行线段(或在同一直线上的线段)的长度比不变。

相似变换群

相似不变量

相似变换除了仿射不变量作为它的不变量之外，最本质的不变性质是绝对二次曲线与绝对二次曲面。

等距变换群

如果限制U 是一个三维旋转矩阵，则上述变换称为欧氏变换。

在代数上，一个空间点X 是射影变换H 的不动点的充要条件是X 为H 的特征向量，即HX＝X

二次曲面的分类

度量分类



仿射分类

射影分类

射影坐标系与射影坐标变换


其中u j不全为零。因为u j的比值不能唯一确定，必须再加约束条件。

此时

射影坐标系

特别地，A，B，C，D、E 的新齐次坐标分别为

这样建立起来的坐标系称为射影坐标系，并称A，B，C，D 所构成的4 面形为射影坐标系的4 面形；A，B，C，D、E 称为射影坐标系的基点(如图2.5.1 所示)。不难看出以欧氏坐标(或仿射坐标)为基础的齐次坐标系是一种特殊的射影坐标系。

射影坐标变换

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