题目大意

给定A,B,CA,B,C，计算

∑i=1A∑j=1B∑k=1C d(i×j×k)

\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^C~d(i\times j\times k)
其中 d(x)d(x)表示 xx的因子个数。

Data Constraint
A,B,C≤5000A,B,C\leq5000

题解

先讲一个结论

∑i=1A∑j=1B∑k=1C d(i×j×k)

\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^C~d(i\times j\times k)
等价于

∑(i,j)=1 and (j,k)=1 and (i,k)=1⌊Ai⌋⌊Bj⌋⌊Ck⌋

\sum_{(i,j)=1~and~(j,k)=1~and~(i,k)=1}\lfloor\frac{A}{i}\rfloor\lfloor\frac{B}{j}\rfloor\lfloor\frac{C}{k}\rfloor
整理一下

∑i=1A∑j=1B∑k=1C[(i,j)=1][(j,k)=1][(i,k)=1]⌊Ai⌋⌊Bj⌋⌊Ck⌋

\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^C[(i,j)=1][(j,k)=1][(i,k)=1]\lfloor\frac{A}{i}\rfloor\lfloor\frac{B}{j}\rfloor\lfloor\frac{C}{k}\rfloor

∑i=1A⌊Ai⌋∑j=1B∑k=1C[(i,j)=1][(j,k)=1][(i,k)=1]⌊Bj⌋⌊Ck⌋

\sum_{i=1}^A\lfloor\frac{A}{i}\rfloor\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^C[(i,j)=1][(j,k)=1][(i,k)=1]\lfloor\frac{B}{j}\rfloor\lfloor\frac{C}{k}\rfloor
莫比乌斯反演一下

∑i=1A⌊Ai⌋∑d=1min(B,C)[(i,d)=1]μ(d)∑j′=1⌊Bd⌋∑k′=1⌊Cd⌋[(j′,i)=1][(k′,i)=1]⌊Bj′d⌋⌊Ck′d⌋

\sum_{i=1}^A\lfloor\frac{A}{i}\rfloor\sum_{d=1}^{min(B,C)}[(i,d)=1]\mu(d)\sum_{j'=1}^{\lfloor\frac{B}{d}\rfloor}\sum_{k'=1}^{\lfloor\frac{C}{d}\rfloor}[(j',i)=1][(k',i)=1]\lfloor\frac{B}{j'd}\rfloor\lfloor\frac{C}{k'd}\rfloor

然后就可以计算了，加一个记忆化来优化常数。

时间复杂度：O(n2logn)O(n^2logn)

SRC

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std ;#define M 5000 + 10
typedef long long ll ;
const int MO = 1 << 30 ;bool flag[M] ;
int Pri[M] , Miu[M] , Rec[M] , G[M][M] ;
int A , B , C ;
ll ans ;void Pre() {Miu[1] = 1 ;for (int i = 2 ; i <= 5000 ; i ++ ) {if ( !flag[i] ) {Pri[++Pri[0]] = i ;Miu[i] = -1 ;}for (int j = 1 ; j <= Pri[0] ; j ++ ) {if ( i * Pri[j] > M ) break ;flag[i*Pri[j]] = 1 ;if ( i % Pri[j] == 0 ) { Miu[i*Pri[j]] = 0 ; break ; }Miu[i*Pri[j]] = - Miu[i] ;}}
}int gcd( int x , int y ) {if ( G[x][y] ) return G[x][y] ;return G[x][y] = !y ? x : gcd( y , x % y ) ;
}int Calc( int x ) {if ( Rec[x] >= 0 ) return Rec[x] ;Rec[x] = 0 ;for (int i = 1 ; i <= x ; i ++ ) {if ( !flag[i] ) continue ;Rec[x] = (Rec[x] + x / i) % MO ;}return Rec[x] ;
}int main() {freopen( "skyfall.in" , "r" , stdin ) ;freopen( "skyfall.out" , "w" , stdout ) ;Pre() ;scanf( "%d%d%d" , &A , &B , &C ) ;for (int i = 1 ; i <= A ; i ++ ) {for (int j = 1 ; j <= max( B , C ) ; j ++ ) {flag[j] = gcd( i , j ) == 1 ? 1 : 0 ;Rec[j] = -1 ;}for (int d = 1 ; d <= min( B , C ) ; d ++ ) {if ( !flag[d] ) continue ;ans = (ans + (ll)A / i * Miu[d] % MO * Calc( B / d ) % MO * Calc( C / d ) % MO ) % MO ;}}printf( "%lld\n" , (ans + MO) % MO ) ;return 0 ;
}

以上.

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