最短路径问题

求带权图中两点之间最短距离的问题
代码案例中的输入格式为

边数M 结点数N
边1的起始节点边1的目的结点边1的权重
…
边M的起始节点边M的目的结点边M的权重

例

5 5
1 2 20
2 3 30
3 4 20
4 5 20
1 5 100

题目：https://vjudge.net/problem/POJ-2387

DFS

原理：从源节点深度搜索最短路径

/*
* problem:最短路径
* method:dfs
* date:2020/08/12
*/
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<utility>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int inf=1e10;
const int maxn=1005;
int arc[maxn][maxn];
bool vis[maxn];
int mini;
int T,N,start,dest;
void init() {int i,j;for(i=0; i<N; i++) {for(j=0; j<N; j++) {if(i==j) arc[i][j]=0;else arc[i][j]=inf;}vis[i]=false;}mini=inf;
}
void dfs(int index,int minDis) {int i,j;if(index==dest) {mini=mini<minDis?mini:minDis;return;}if(minDis>mini) return;for(i=0; i<N; i++) {if(!vis[i]&&arc[index][i]!=inf) {vis[i]=true;dfs(i,minDis+arc[index][i]);vis[i]=false;}}
}
using namespace std;
int main() {int i,j;while(cin>>T>>N) {init();int a,b,c;for(i=0; i<T; i++) {cin>>a>>b>>c;a--;b--;if(arc[a][b]>c) {arc[a][b]=arc[b][a]=c;}}start=N-1;dest=0;vis[start]=true;dfs(start,0);cout<<mini<<endl;}return 0;
}

Dijkstra

原理：从源节点开始更新到可达结点的最短距离，贪心选择下一个结点进行更新

/*
* problem: 最短路径
* method:dijkstra
* date:2020/08/12
*/
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<utility>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int inf=1e9;
const int maxn=2005;
int arc[maxn][maxn];
bool vis[maxn];
int dis[maxn];
int T,N,start,dest;
void init() {int i,j;for(i=0; i<N; i++) {for(j=0; j<N; j++) {if(i==j) arc[i][j]=0;else arc[i][j]=inf;}vis[i]=false;dis[i]=inf;}
}
void dijkstra(int u) {int i,j;dis[u]=0;int min;for(i=0; i<N; i++) {min=inf;for(j=0; j<N; j++) {if(!vis[j]&&dis[j]<min) {u=j;min=dis[j];}}vis[u]=true;for(j=0; j<N; j++) {if(!vis[j]&&arc[u][j]!=inf&&dis[u]+arc[u][j]<dis[j]) {dis[j]=dis[u]+arc[u][j];}}}
}
int main() {int i,j;while(cin>>T>>N) {init();int a,b,c;for(i=0; i<T; i++) {cin>>a>>b>>c;a--;b--;if(arc[a][b]>c) {arc[a][b]=arc[b][a]=c;}}start=N-1;dest=0;dijkstra(start);cout<<dis[dest]<<endl;}return 0;
}

floyd

原理：从0-N-1考虑两点间经过的结点数来确定两点间最短距离，最终求出了任意两点间距离

/*
* problem:最短路径
* method:floyd
* date:2020/08/12
*/
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<utility>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int inf=1e9;
const int maxn=2005;
int arc[maxn][maxn];
int T,N,start,dest;
void init() {int i,j;for(i=0; i<N; i++) {for(j=0; j<N; j++) {if(i==j) arc[i][j]=0;else arc[i][j]=inf;}}
}
int main() {int i,j;while(cin>>T>>N) {init();int a,b,c;for(i=0; i<T; i++) {cin>>a>>b>>c;a--;b--;if(arc[a][b]>c) {arc[a][b]=arc[b][a]=c;}}for(int k=0; k<N; k++) {for(i=0; i<N; i++) {for(j=0; j<N; j++) {if(arc[i][k]+arc[k][j]<arc[i][j]) {arc[i][j]=arc[i][k]+arc[k][j];}}}}start=N-1;dest=0;cout<<arc[start][dest]<<endl;}return 0;
}

bellman_ford

原理：从两点间距离看是遍历松弛两点间的距离，从点的角度看类似于广度优先搜索的dijkstra（dijkstra类似于深度优先搜索）

/*
* problem:最短路径
* method:bellman_ford
* date:2020/08/12
*/
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<utility>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int inf=1e9;
const int maxn=1005;
const int maxm=4005;
struct Edge {int u,v,w;
};
Edge e[maxm];
int dis[maxn];
int M,N,start,dest;
bool bellman_ford(int start) {int i,j;for(i=0; i<N; i++) {dis[i]=inf;}dis[start]=0;bool flag=false;for(i=0; i<N-1; i++) {flag=false;for(j=0; j<M; j++) {if(dis[e[j].v]>dis[e[j].u]+e[j].w) {dis[e[j].v]=dis[e[j].u]+e[j].w;flag=true;}}if(!flag) break;}for(i=0; i<M; i++) {if(dis[e[i].u]>dis[e[i].v]+e[i].w) {return false;}}return true;
}
int main() {int i,j;while(cin>>M>>N) {int a,b,c;for(i=0; i<M; i++) {cin>>a>>b>>c;a--;b--;e[i].u=a;e[i].v=b;e[i].w=c;e[i+M].v=a;e[i+M].u=b;e[i+M].w=c;}M*=2;   //无向图边数需乘以2start=N-1;dest=0;if(bellman_ford(start) ) {cout<<dis[dest]<<endl;} else {cout<<"存在负权回路"<<endl;}}return 0;
}

spfa

原理：采用队列来对bellman-ford进行改进

/*
* problem:最短路径
* method:spfa
* date:2020/08/12
*/
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<utility>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int inf=1e10;
const int maxn=1005;
vector<int> to[maxn],weight[maxn];
bool vis[maxn];
int dis[maxn];
int T,N,start,dest;
void spfa(int start){int i,j;for(i=0;i<N;i++){dis[i]=inf;vis[i]=false;}dis[start]=0;vis[start]=true;queue<int> Q;Q.push(start);while(!Q.empty()){int u=Q.front();Q.pop();vis[u]=false;for(i=0;i<to[u].size();i++){int v=to[u][i],w=weight[u][i];if(dis[v]>dis[u]+w){dis[v]=dis[u]+w;if(!vis[v]){vis[v]=true;Q.push(v);}}}}
}
int main(){int i,j;while(cin>>T>>N){int a,b,c;for(i=0;i<T;i++){cin>>a>>b>>c;a--;b--;to[a].push_back(b);weight[a].push_back(c);//无向图to[b].push_back(a);weight[b].push_back(c);}start=N-1;dest=0;spfa(start);cout<<dis[dest]<<endl;}return 0;
}

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最短路径——DFS、Dijkstra、Floyd、Bellman-Ford、spfa

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