1. 广义逆矩阵

∀A∈Rm×n，∃G∈Rn×m\forall A \in R^{m \times n}，\exists G \in R^{n \times m}∀A∈Rm×n，∃G∈Rn×m，满足下列的一个、多个或者全部，则称G为A的广义逆矩阵
(1)AGA=A(1)\quad AGA = A(1)AGA=A
(2)GAG=G(2)\quad GAG = G(2)GAG=G
(3)(AG)H=AG(3)\quad (AG)^H = AG(3)(AG)H=AG
(4)(GA)H=GA(4)\quad (GA)^H = GA(4)(GA)H=GA
若满足第i个条件，记为G=A(i)，A{i}={G∣G=A(i)}G = A^{(i)}，A\{i\} = \{G | G = A^{(i)}\}G=A(i)，A{i}={G∣G=A(i)}
若满足第i, j个条件，记为G=A(i,j)，A{i,j}={G∣G=A(i,j)}G = A^{(i, j)}，A\{i, j\} = \{G | G = A^{(i, j)}\}G=A(i,j)，A{i,j}={G∣G=A(i,j)}

减号逆(A−A^{-}A−)： A−=A(1)A^{-} = A^{(1)}A−=A(1)，满足AGA=AAGA = AAGA=A

极小范数广义逆(Am−A^{-}_mAm−)： A(1,4)A^{(1, 4)}A(1,4)，满足AGA=A,(GA)H=GAAGA = A,\ (GA)^H = GAAGA=A, (GA)H=GA

最小二乘广义逆(Al−A^{-}_lAl−)： A(1,3)A^{(1, 3)}A(1,3)，满足AGA=A,(AG)H=AGAGA = A,\ (AG)^H = AGAGA=A, (AG)H=AG

加号广义逆(A+A^+A+)： A(1,2,3,4)A^{(1, 2, 3, 4)}A(1,2,3,4)，满足AGA=A,GAG=A,(AG)H=AG,(GA)H=GAAGA = A,\ GAG = A,\ (AG)^H = AG,\ (GA)^H = GAAGA=A, GAG=A, (AG)H=AG, (GA)H=GA

2. 减号广义逆

A∈Cm×nA \in C^{m \times n}A∈Cm×n，若存在G∈Cn×mG \in C^{n \times m}G∈Cn×m，使AGA=AAGA=AAGA=A，则称G为A的一个减号广义逆，记为A−，A{1}={G∣AGA=A}A^{-}，A\{1\} = \{G | AGA = A\}A−，A{1}={G∣AGA=A}

A−A^-A−存在的条件及求法： ∀A∈Cm×n\forall A \in C^{m \times n}∀A∈Cm×n
(1) 若秩(A) = 0，即A=0A = 0A=0，则A−A^-A−存在，即∀G∈Cn×m，均有AGA=A\forall G \in C^{n \times m}，均有AGA=A∀G∈Cn×m，均有AGA=A
(2) 若秩(A) = n(m = n)，即∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0，则A−A^-A−不唯一，且A−=A−1，AGA=AA^- = A^{-1}，AGA = AA−=A−1，AGA=A
(3) 若秩(A) = r，有可逆P，Q，使PAQ=(Ir0)m×nPAQ = \begin{pmatrix}I_r & \\ & 0\end{pmatrix}_{m \times n}PAQ=(Ir0)m×n，即A=P−1(Ir0)Q−1A = P^{-1} \begin{pmatrix}I_r & \\ & 0\end{pmatrix}Q^{-1}A=P−1(Ir0)Q−1
则G∈A{1}⟺G=Q(IrUVW)PG \in A\{1\} \iff G = Q \begin{pmatrix}I_r & U \\ V & W\end{pmatrix} PG∈A{1}⟺G=Q(IrVUW)P，其中U、V、W为相应的任意矩阵

设A∈Cm×n，λ∈CA \in C^{m \times n}，\lambda \in CA∈Cm×n，λ∈C，则A−A^{-}A−满足一下性质：
(1)rank(A)≤rank(A−)(1)\quad rank(A) \leq rank(A^-)(1)rank(A)≤rank(A−)
(2)AA−与A−A(2)\quad AA^-与A^-A(2)AA−与A−A都是幂等矩阵，且rank(A)=rank(AA−)=rank(A−A)rank(A) = rank(AA^{-}) = rank(A^{-}A)rank(A)=rank(AA−)=rank(A−A)
(3)R(AA−)=R(A)，N(A−A)=N(A)(3)\quad R(AA^-) = R(A)，N(A^-A) = N(A)(3)R(AA−)=R(A)，N(A−A)=N(A)

例如：

说明：可以先对(AI3)\begin{pmatrix}A & I_3\end{pmatrix}(AI3)做行变换，将变换后的结果记为(A′P)\begin{pmatrix}A' & P \end{pmatrix}(A′P)，然后对(A′I4)\begin{pmatrix} A' \\ I_4 \end{pmatrix}(A′I4)做列变换，即可得到最终的P和Q

3. 极小范数广义逆

极小范数广义逆： A∈Cm×nA \in C^{m \times n}A∈Cm×n，若存在G∈Cn×mG \in C^{n \times m}G∈Cn×m，使(1)AGA=A，(4)(GA)H=GA(1) AGA=A，\quad (4)(GA)^H = GA(1)AGA=A，(4)(GA)H=GA，则称G为A的一个极小范数广义逆，
记为Am−，A{1，4}={G∣AGA=A，(GA)H=GA}A^{-}_m，A\{1，4\} = \{G | AGA = A，(GA)^H = GA\}Am−，A{1，4}={G∣AGA=A，(GA)H=GA}

Am−A^-_mAm−存在的条件及求法： A∈Cm×nA \in C^{m \times n}A∈Cm×n，A的奇异分解：A=U(Δr000)VHA = U \begin{pmatrix}\Delta_r & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} V^HA=U(Δr000)VH，则
G∈A{1，4}⟺G=V(Δr−1K0M)UHG \in A\{1，4\} \iff G = V \begin{pmatrix}\Delta_r^{-1} & K \\ 0 & M\end{pmatrix} U^HG∈A{1，4}⟺G=V(Δr−10KM)UH，K和M为相应任意矩阵
奇异分解求解过程可参考https://blog.csdn.net/u011609063/article/details/102680734#32_SVD_250

相容方程： 方程组Ax=b有解
矛盾(不相容)方程： 方程组Ax=b无解

极小范数解： 方程Ax=bAx = bAx=b有无数解，在所有的解中最小的解就是极小范数解。即x0=min(x)x_0 = min(x)x0=min(x)，x0x_0x0为Ax=bAx = bAx=b的极小范数解

若G∈A{1，4}，则Gb=min(x)G \in A\{1，4\}，则Gb = min(x)G∈A{1，4}，则Gb=min(x)，即x0=Gbx_0 = Gbx0=Gb是相容方程组Ax=b的极小范数解
A∈Cm×n，G∈A{1，4}⟺x0=GbA \in C^{m \times n}，G \in A\{1，4\} \iff x_0 = GbA∈Cm×n，G∈A{1，4}⟺x0=Gb是相容方程Ax=b的极小范数解
∀G1，G2∈A{1，4}，必有G1b=G2b\forall G_1，G_2 \in A\{1，4\}，必有G_1 b = G_2 b∀G1，G2∈A{1，4}，必有G1b=G2b，即相容方程的极小范数解是唯一的。

例如：

4. 最小二乘广义逆

最小二乘广义逆： A∈Cm×nA \in C^{m \times n}A∈Cm×n，若存在G∈Cn×mG \in C^{n \times m}G∈Cn×m，使(1)AGA=A，(3)(AG)H=AG(1) AGA=A， (3)(AG)^H = AG(1)AGA=A，(3)(AG)H=AG，则称G为A的一个最小二乘广义逆，记为Al−，A{1，3}={G∣AGA=A，(AG)H=AG}A^{-}_l，A\{1，3\} = \{G | AGA = A，(AG)^H = AG\}Al−，A{1，3}={G∣AGA=A，(AG)H=AG}

Al−A^-_lAl−存在的条件及求法： A∈Cm×nA \in C^{m \times n}A∈Cm×n，A的奇异分解：A=U(Δr000)VHA = U \begin{pmatrix}\Delta_r & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} V^HA=U(Δr000)VH，则
G∈A{1，3}⟺G=V(Δr−10LM)UHG \in A\{1，3\} \iff G = V \begin{pmatrix}\Delta_r^{-1} & 0 \\ L & M\end{pmatrix} U^HG∈A{1，3}⟺G=V(Δr−1L0M)UH，L和M为相应任意矩阵
奇异分解求解过程可参考https://blog.csdn.net/u011609063/article/details/102680734#32_SVD_250

最小二乘解： Ax−bAx-bAx−b取最小值时x的解，即矛盾方程Ax=b，∃u∈Cn，∣∣Au−b∣∣2=min∣∣Ax−b∣∣2(∀x∈Cn)Ax = b，\exists u \in C^n，||Au - b||_2 = min||Ax -b||_2(\forall x \in C^n)Ax=b，∃u∈Cn，∣∣Au−b∣∣2=min∣∣Ax−b∣∣2(∀x∈Cn)时u的值

G∈A{1,3}，则AHAG=AHG \in A\{1,\ 3\}，则A^HAG = A^HG∈A{1, 3}，则AHAG=AH

若G∈A{1,3}，则x=GbG \in A\{1,\ 3\}，则x = GbG∈A{1, 3}，则x=Gb是矛盾方程Ax=b的最小二乘解，即AGb−b=min(Ax−b)AGb - b = min(Ax - b)AGb−b=min(Ax−b)

例如：

5. 加号广义逆

加号广义逆： A∈Cm×n,∃G∈Cn×mA \in C^{m \times n},\ \exists G \in C^{n \times m}A∈Cm×n, ∃G∈Cn×m，满足(1)AGA=A(2)GAG=G(3)(AG)H=AG(4)(GA)H=GA(1)AGA = A \quad (2)GAG = G \quad (3)(AG)^H = AG \quad (4)(GA)^H = GA(1)AGA=A(2)GAG=G(3)(AG)H=AG(4)(GA)H=GA，
则称G为A的Moore-Penrose广义逆或加号广义逆，简称A的M-P逆，记为A+，A{1,2,3,4}A^+，A\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}A+，A{1, 2, 3, 4}

A+A^+A+存在的条件及求法： A∈Cm×nA \in C^{m \times n}A∈Cm×n，则A+A^+A+存在且唯一
A的奇异分解：A=U(Σr000)VHA = U \begin{pmatrix}\Sigma_r & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} V^HA=U(Σr000)VH，则A+=V(Σr−1000)UHA^+ = V \begin{pmatrix}\Sigma^{-1}_r & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} U^HA+=V(Σr−1000)UH
奇异分解求解过程可参考https://blog.csdn.net/u011609063/article/details/102680734#32_SVD_250

设rank(A) = r，A的一个满值分解为A=BC，B∈Cm×r，C∈Cr×n，rank(B)=rank(C)=rA = BC，B \in C^{m \times r}，C \in C^{r \times n}，rank(B) = rank(C) = rA=BC，B∈Cm×r，C∈Cr×n，rank(B)=rank(C)=r
则A+=CH(CCH)−1(BHB)−1BHA^+ = C^H(CC^H)^{-1}(B^HB)^{-1}B^HA+=CH(CCH)−1(BHB)−1BH

A∈Cm×n，λ∈Cm×n，则A+A \in C ^{m \times n}，\lambda \in C^{m \times n}，则A^+A∈Cm×n，λ∈Cm×n，则A+满足以下性质：
(1)(A+)+=A(1) \quad (A^+)^+ = A(1)(A+)+=A
(2)(A+)H=(AH)+(2) \quad (A^+)^H = (A^H)^+(2)(A+)H=(AH)+
(3)(λA)+=λ+A+(3) \quad (\lambda A)^+ = \lambda^+ A^+(3)(λA)+=λ+A+，其中λ+={1λλ≠00λ=0\lambda^+ = \begin{cases} \frac{1}{\lambda} & \lambda \neq 0 \\ 0 & \lambda = 0\end{cases}λ+={λ10λ=0λ=0
(4)A+={(AHA)−1AHA为列满秩AH(AAH)−1A为行满秩(4) \quad A^+ = \begin{cases}(A^HA)^{-1}A^H & A为列满秩 \\ A^H(AA^H)^{-1} & A为行满秩\end{cases}(4)A+={(AHA)−1AHAH(AAH)−1A为列满秩A为行满秩

例如：

6.方程通解与最小二乘解

6.1 相容方程的通解

相容方程：Ax=b，A∈Cm×nAx = b，A \in C^{m \times n}Ax=b，A∈Cm×n
x=A−b+(In−A−A)z，z∈Cnx = A^- b + (I_n - A^- A) z，z \in C^nx=A−b+(In−A−A)z，z∈Cn

6.2 矛盾方程的最小二乘解

矛盾方程：Ax=b，A∈Cm×nAx = b，A \in C^{m \times n}Ax=b，A∈Cm×n
x=Al−b+(In−Al−A)z，∀z∈Cnx = A^-_lb + (I_n - A^-_l A)z，\forall z \in C^nx=Al−b+(In−Al−A)z，∀z∈Cn

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