【定积分】基本知识点+考点

定积分

本文将以考点+一般的出题套路+一般解决方法为脉络展开。

考点一：概念

要求曲边梯形的面积，但不好求
但是求矩形面积是方便的
划分成长条矩形（这里等不等分结果一样，所以采取等分）
一个长条矩形的面积 Si=Δxif(ξi)S_i=\Delta x_if(\xi_i)Si=Δxif(ξi)
n个长条矩形的面积 S=Σi=1n[Δxif(ξi)]S=\Sigma_{i=1}^{n} [ \Delta x_if(\xi_i)]S=Σi=1n[Δxif(ξi)]
但是求矩形面积毕竟不够精准，所以将结果推向极限,对曲边梯形进行无限的分割：S=limn→∞Σi=1n[Δxif(ξi)]S=lim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^{n} [ \Delta x_if(\xi_i)]S=limn→∞Σi=1n[Δxif(ξi)]
其中，根据上图可以容易得到：Δxi=b−an\Delta x_i=\frac{b-a}{n}Δxi=nb−a，f(ξi)=f(a+(b−a)in)f(\xi_i)=f(a+\frac{(b-a)i}{n})f(ξi)=f(a+n(b−a)i)，带入S的公式，就得到了定积分的定义。
S=∫abf(x)dx=limn→∞Σi=1n[Δxif(ξi)]=limn→∞Σi=1n[b−anf(a+(b−a)in)]S=\int_a^bf(x)dx=lim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^{n} [ \Delta x_if(\xi_i)]=lim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^{n} [\frac{b-a}{n}f(a+\frac{(b-a)i}{n})]S=∫abf(x)dx=limn→∞Σi=1n[Δxif(ξi)]=limn→∞Σi=1n[nb−af(a+n(b−a)i)]
这个考点一般以求无限项相加的极限的形式出现，而且一般只考a=0，b=1 的情况：limn→∞Σi=1n[1nf(in)]=∫01f(x)dxlim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^{n} [\frac{1}{n}f(\frac{i}{n})]=\int_0^1f(x)dxlimn→∞Σi=1n[n1f(ni)]=∫01f(x)dx
举个例子马上就懂了：

求以下极限： limn→∞Σi=1n11−(in)21nlim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{i}{n})^2}}\frac{1}{n}limn→∞Σi=1n1−(ni)21n1
这是一道无限项求和的题目，夹逼定理也许能做，但是看到 in\frac{i}{n}ni ,可以联想到定积分的定义。
使用定积分的定义，首先要找到Σ\SigmaΣ后面的那个 1n\frac{1}{n}n1，这道题里确实有 1n\frac{1}{n}n1；然后找 f(in)f(\frac{i}{n})f(ni) ,具体在这道题里是 11−(in)2\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{i}{n})^2}}1−(ni)21；都找到了，把 in\frac{i}{n}ni 替换成 xxx 就可以带公式了，该极限就等于∫0111−x2dx\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx∫011−x21dx.

其中找1n\frac{1}{n}n1不一定真的找原封不动的1n\frac{1}{n}n1，只要是1n\frac{1}{n}n1的等价无穷小都可以！
定积分的几何意义是面积的代数和，可正可负，不是面积之和；x轴上方是正的，下方是负的。

考点二：性质

可积必有界： f(x)f(x)f(x)可积，则f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]有界。
f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]连续，则∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫abf(x)dx 存在。
f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]不连续，但是只有有限个第一类间断点，则∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫abf(x)dx 存在。
上下限交换添负号
上下限相同积分为零
对0在任意区间积分得零
被积函数f(x)f(x)f(x) g(x)g(x)g(x) 大小关系确定后，相同区间上的积分大小关系不变
绝对值在内≥\geq≥绝对值在外：∫ab∣f(x)∣dx≥∣∫abf(x)dx∣\int_a^b|f(x)| dx\geq |\int _a^bf(x)dx|∫ab∣f(x)∣dx≥∣∫abf(x)dx∣
积分区间具有可拆性
积分中值定理：∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)，ξ∈[a,b]\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)，\xi \in [a,b]∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)，ξ∈[a,b] 相当于找了个中间一点的值ξ\xiξ，把积分写成了长乘宽的形式。使用前提是f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]连续。注意是闭区间！
如果想用开区间的积分中值定理，用拉格朗日中值定理简单证明一步就可以了:
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=F(ξ)(b−a)，ξ∈(a,b)\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(\xi)(b-a)，\xi \in (a,b)∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=F(ξ)(b−a)，ξ∈(a,b)
遇到对称区间，立即检查被积函数是否（部分）是奇/偶函数。奇零偶倍是容易忽略的技巧。原理画个图就明白。
f(x)f(x)f(x)是周期T函数，则∫akx+Tf(x)dx=k∫0Tf(x)dx\int _a^{kx+T}f(x)dx=k\int_0^Tf(x)dx∫akx+Tf(x)dx=k∫0Tf(x)dx
性质这组考点一般会这样考：让你比较几个积分的大小。
方法：这种题有一个基本方法：固定相同区间比较被积函数or固定被积函数比较区间，一般不用具体求出来，判定一下大于某个数或小于某个数就行了，这个数很可能是0。
可以先找题目这几个积分有什么相同点，看看能不能判断一下它想考什么知识点，比如给了三个相同的积分区间，而且都是关于原点对称的，可以大致往寄零偶倍的方向考虑，判断一下被积函数的奇偶。

考点三：积分上限函数

F(x)=∫axf(t)dtF(x)=\int_a^xf(t)dtF(x)=∫axf(t)dt
只要是积分上限函数，一定是连续的。
若f(x)f(x)f(x)连续，F(x)是f(x)的一个原函数。
若f(x)f(x)f(x)有可去/跳跃间断点，则f(x)不存在原函数，F(x)存在且连续，但F(x)不可导。
积分上限函数求导。一共三种考法。
- 第一种被积函数很规矩，直接求
- 第二种∫axg(x)f(t)dt\int_a^xg(x)f(t)dt∫axg(x)f(t)dt, 先提出和积分变量无关的因子g(x)，再求
- 第三种，类似于∫axf(x−t)dt\int_a^xf(x-t)dt∫axf(x−t)dt，和积分变量无关的项包裹在被积函数里，不能提，则先将其变量代换掉，同时积分上下限随之改变，再求

考点四：定积分计算

1.牛莱

牛顿莱布尼茨公式：就是先不看积分限，求原函数，再带入积分限计算。所以使用牛莱公式说白了就是求不定积分。求不定积分的方法参考这篇博文里的计算部分，这里不再赘述。
关于使用牛莱公式什么时候要换限：求不定积分用了换元，则不要忘记同时换积分限。如果没有使用换元，也就是你的积分变量没变（即使你凑了微分），那就不要换积分限。

2.奇零偶倍

遇到对称区间，或者被积函数非常复杂（一般复杂的不会真的让你算），检查被积函数（某一部分的）奇偶性。
如果区间对称，被积函数有奇偶性，直接奇零偶倍
如果区间对称，被积函数没有奇偶性，那一般可以试试区间再现代换，即令 x=a+b−tx=a+b-tx=a+b−t.代换之后积分上下限不变。然后使用A=B=1/2(A+B)A=B=1/2(A+B)A=B=1/2(A+B)的原理解题。

打颗栗子：∫−1111+1exdx\int_{-1}^1\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}dx∫−111+ex11dx 则让 x=−1+1−tx=-1+1-tx=−1+1−t

原式 =∫1−111+etd(−t)=∫−111et1+1etdt=12(∫−1111+1exdx+∫−111et1+1etdt)\int_{1}^{-1}\frac{1}{1+{e^t}}d(-t)=\int_{-1}^1\frac{\frac{1}{e^t}}{1+\frac{1}{e^t}}dt=\frac{1}{2}(\int_{-1}^1\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}dx+\int_{-1}^1\frac{\frac{1}{e^t}}{1+\frac{1}{e^t}}dt)∫1−11+et1d(−t)=∫−111+et1et1dt=21(∫−111+ex11dx+∫−111+et1et1dt)积分变量是t 还是x都无所谓，所以t可以写成x

=12(∫−1111+1exdx+∫−111ex1+1exdx)=12∫−111dx=1=\frac{1}{2}(\int_{-1}^1\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}dx+\int_{-1}^1\frac{\frac{1}{e^x}}{1+\frac{1}{e^x}}dx)=\frac{1}{2}\int_{-1}^11dx=1=21(∫−111+ex11dx+∫−111+ex1ex1dx)=21∫−111dx=1

3.使用周期性（见性质）

遇到nπn\pinπ，等常见的周期，考虑一下周期性
有些题比较恶心，给你一个抽象函数让你自己推周期性，这时候可以根据题目猜一下可能的周期，再带进题目给的已知等式去试。

4.一些零散的结论

∫0π/2f(sinx)dx=∫0π/2f(cosx)dx\int_0^{\pi/2}f(sinx)dx=\int_0^{\pi/2}f(cosx)dx∫0π/2f(sinx)dx=∫0π/2f(cosx)dx，区间不变，用区间再现就可以证明
∫0π/2f(sinx，cosx)dx=∫0π/2f(cosx,sinx)dx\int_0^{\pi/2}f(sinx，cosx)dx=\int_0^{\pi/2}f(cosx,sinx)dx∫0π/2f(sinx，cosx)dx=∫0π/2f(cosx,sinx)dx，证明同上
以上两个公式的用法：就是区间再现的用法，相加除二
∫0πxf(sinx)dx=π2∫0πf(sinx)dx\int_0^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(sinx)dx∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx，是课本例题
华莱士公式：偶数多乘π2\frac{\pi}{2}2π
∫0π/2sinnxdx=∫0π/2cosnxdx={n是奇数，(n−1)!!n!!n是偶数，(n−1)!!n!!π2\int_0^{\pi/2}sin^nxdx=\int_0^{\pi/2}cos^nxdx=\begin{cases}n是奇数，\frac{(n-1)!!}{n!!} \\n是偶数，\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi}{2} \end{cases}∫0π/2sinnxdx=∫0π/2cosnxdx={n是奇数，n!!(n−1)!!n是偶数，n!!(n−1)!!2π

考点五：反常积分

1.无限区间的反常积分

计算方法：
- 就是用牛莱。只不过之前带入常数，现在带入±∞\pm\infty±∞, 也就是求一个极限。极限存在则反常积分收敛，极限不存在则反常积分发散。
- 反常积分在不知道是否收敛的情况下，不要用奇零偶倍
- 上下都是无穷，要拆成两部分算。
判断敛散性：
- 可以直接计算极限，极限存在就收敛
- 收敛+收敛=收敛
- 收敛+发散=发散
- 套用结论：∫a+∞1xpdx，p\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx，p∫a+∞xp1dx，p大于1就收敛，大于0小于等于1就发散
- 结论推广：分母比分子次数大，且超过一次，就收敛
- 结论推广：∫a+∞1xlnpxdx，p\int_a^{+\infty}\frac{1}{xln^px}dx，p∫a+∞xlnpx1dx，p大于1就收敛，小于1 就发散
- 套用另一个结论：∫a+∞xke−λxdx，λ\int_a^{+\infty}x^ke^{-\lambda x}dx，\lambda∫a+∞xke−λxdx，λ大于0就收敛，小于等于0就发散
- 大收小收，小发大发。这句话的正确打开方式是，看一下这个要判断的积分的被积函数，和上面两个结论哪个是同阶无穷小，这样二者就是同敛散的。这时 p/λ 落在哪个区间，就对应发散或收敛。
- 栗子：∫a+∞1x−ln(1+x)dx\int_a^{+\infty}\frac{1}{x-ln(1+x)}dx∫a+∞x−ln(1+x)1dx，而1x2和1x−ln(1+x)dx是同阶无穷小，二者具有相同敛散性，此时p=2>0,所以收敛。\frac{1}{x^{2}}和\frac{1}{x-ln(1+x)}dx是同阶无穷小，二者具有相同敛散性，此时p=2>0,所以收敛。x21和x−ln(1+x)1dx是同阶无穷小，二者具有相同敛散性，此时p=2>0,所以收敛。
- ∫−∞+∞e−x2dx=π\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}∫−∞+∞e−x2dx=π
- ∫0+∞e−x2dx=π/2\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}/2∫0+∞e−x2dx=π/2

2.瑕积分

比较隐蔽，需要自己判断瑕点。
判断瑕点就是求这点的极限，如果极限是无穷就是瑕点
瑕点可能在内部

一道易错题：∫−111xdx\int_{-1}^1\frac{1}{x}dx∫−11x1dx是发散的，因为按0拆开之后，只要有一部分是发散的，整个就是发散的。

判断敛散性
- a是瑕点，∫ab1(x−a)pdx={收敛,0<p<1发散，p≥1a是瑕点，\int_a^b\frac{1}{(x-a)^p}dx=\begin{cases}收敛,0<p<1\\发散，p \geq 1 \end{cases}a是瑕点，∫ab(x−a)p1dx={收敛,0<p<1发散，p≥1
- b是瑕点，∫ab1(b−x)pdx={收敛,0<p<1发散，p≥1b是瑕点，\int_a^b\frac{1}{(b-x)^p}dx=\begin{cases}收敛,0<p<1\\发散，p \geq 1 \end{cases}b是瑕点，∫ab(b−x)p1dx={收敛,0<p<1发散，p≥1
- 瑕点处的同阶无穷小同敛散。

考点六：定积分的应用

这部分我讲得不好，这个视频的P39-P42讲得非常好：https://www.bilibili.com/video/BV1Bh41127AU?p=35&spm_id_from=333.1007.top_right_bar_window_history.content.click

看完了就去刷课后题巩固一下吧~
纯手打，如有疏漏错误欢迎在留言区指正。

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