算法最优化（2）线性规划问题中的常见概念辨析：可行解，最优解，基，基向量，非基向量，基变量，非基变量等等

2024-06-04 03:28:19

线性规划里面有很多基本的概念容易弄混

已知标准型为：
max Z=CX
AX=b
X≥0

可行解：满足约束条件，AX=b，X≥0的解X称为线性规划问题的可行解。
最优解：使目标函数Z=CX达到最大值的可行解称为最优解。
基，基向量，非基向量，基变量，非基变量

基本解（又叫做基解，基础解）：若在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令其非基变量为零，再求解该m元线性方程组可得到唯一解，该解称之为线性规划的基本解。
基解，基可行解，可行基

所以需要注意的是`基本解不一定是可行解,非负的基解才是可行解`

奇异矩阵和非奇异矩阵：有时候我们还会听到奇异矩阵和非奇异矩阵这两个概念，首先明确肯定要明确的是，奇异矩阵和非奇异矩阵都是方阵（行列数相同）。如果矩阵A对应的行列式|A|为零，那么这个矩阵A就是奇异矩阵。如果矩阵A对应的行列式≠0，那么他就是非奇异矩阵。
关于奇异阵，非奇异阵，可逆和线性方程组的解的关系，总结一下就是：
（1）A为非奇异矩阵，则|A| ≠ 0 → A是可逆矩阵 → AX=0只有唯一零解或 AX=b有唯一解
（2）A为奇异矩阵，则|A| = 0 → A是不可逆矩阵 → AX=0有非零解或 AX=b有无穷解或者无解
最优解的特点：

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