叉积（向量积、外积）的运算法则及其与点积（数量积、内积）的混合运算

设a, b, c为R³上的三个向量，λ, μ为两个标量，×表示两向量之间的叉积，·表示两向量之间的数量积。则：

1. 叉积的定义

a与b的叉积为一向量，记为a×b。记a与b之间的夹角为θ，则它的模与方向分别为：

模：|a×b| = |a||b|sinθ
方向：垂直于a与b所构成的平面，且满足右手法则

2. 叉积的代数规则

反交换律：a×b = -b×a。
分配律：a×(b+c) = a×b+a×c。
与标量乘法兼容：(λa)×b = a×(λb) = λ(a×b)。
数乘结合律：(λa)×(μb) = (λμ)(a×b)
雅可比恒等式：a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b) = 0。
分配律，线性性和雅可比恒等式表明：具有向量加法和叉积的R³构成了一个李代数。
两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b = 0。

3. 拉格朗日公式

(a×b)×c = b(a·c)-a(b·c)
a×(b×c) = b(a·c)-c(a·b)

可以使用拉格朗日公式第2条证明代数规则第5条的雅可比恒等式：

  a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)
= b(a·c)-c(a·b)+c(b·a)-a(b·c)+a(c·b)-b(c·a)
= [a(c·b)-a(b·c)]+[b(a·c)-b(c·a)]+[c(b·a)-c(a·b)]
= 0

4. 向量的混合积

(a×b)·c = (b×c)·a = (c×a)·b

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1. 叉积的定义

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