三大变换与自控（三）从傅立叶级数推导傅立叶变换FT

在上一篇文章中我们推导了一个周期为t的函数的傅立叶级数展开的复数形式：

在这里可以看到，Cn才是决定函数形状的系数，而它本身则是一个复数。从三维的角度来看，如果以频率w为横轴，cn的实部为纵轴，虚部为纵轴，在上面绘制cn大概就长这样：

如果我们对cn进行取模，也就是把纵轴变成虚部和实部的平方和开根，那么这幅三维图就变成了一个函数在各种频率下的振幅，也就是传说中的频谱。

可以看到，傅立叶级数展开的情况下，频率横轴并不是连续的，而是0，w0，2w0，3w0……是一个差值为w0的等差数列。

而这个差值w=2pi/T，如果当周期T趋近于无穷大时，差值就会越来越小，直到趋近于0，因此，我们的频谱也就从离散变成了连续，我们的横轴就从nw0变成了w。

现在，让我们把周期趋近∞带入到傅立叶级数中，推导出无穷周期函数的展开，也就是傅立叶变换，看看是什么样子的
最终我们得到的式子长这样：

把中间这部分积分，也就是画波浪线的这部分，就是傅立叶变换FT。而外面对FT乘e^iwt再积分然后乘1/2pi这部分，就是傅立叶逆变换iFT。

至此，我们就完成了傅立叶变换的数学推导。

总结一下，其实整个推导过程，首先利用三角函数的正交性来构建坐标系，用三角函数来组成任意图形，再利用欧拉公式中三角函数和指数的关系，把三角函数替换成复指数形式，最后利用极限思想推导出周期无穷大，也就是非周期函数的变换。并不复杂，抽象能力比较强的同学可以从三维空间去发散想象一下这个变换过程在图形上长什么样。

最后我们再来谈论一下傅立叶变换的应用，算是杂谈。

傅立叶变换最主要的作用是滤波。在硬件电路上，一些电信号有一些低振幅的噪音，如果我们对这个信号进行傅立叶变换，找到噪音的频率，然后就可以设计对应截止频率的滤波器了。

再比如，一个声音信号，我们想要声音变得更尖锐一些，我们可以去除其中的低频信号，加强高频信号，或者将整体的频率都提高一些。

还有雷达测速，大家可以参考我之前一篇多普勒雷达工程的文章，就是使用快速傅里叶变换找出信号中最大振幅的频率，再换算成对应的速度。

当然，更复杂一点的应用比如对一个信号和一个系统的脉冲响应做卷积，就可以得到这个信号经过这个系统过后的样子。比如，把一个人的歌声和浴室的脉冲响应做卷积，就可以得到这个人在浴室里唱歌的声音了。这也是自控中非常重要的一个知识点和应用。

在之后的文章中，我会探讨傅立叶变换的一些性质，而这些性质可以帮助我们大大减少计算量，同时开始慢慢步入到三大变换和各类系统之间的联系。

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