函数论_E.C.Tichmarsh_Page 4 例题 iii 狄利克雷级数一致收敛

狄利克雷级数
\begin{equation}
\label{eq:5.13.54}
\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}
\end{equation}
在$a<s<b$上一致收敛，其中$1<a<b$.

证明:先有
\begin{equation}
n^{-s}<n^{-a}
\end{equation}
现在来证明
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}n^{-a}
\end{equation}
是绝对收敛的级数.

因为
\begin{equation}
\int_1^{\infty}x^{-a}=\lim_{x_0\to\infty}\frac{1}{-a+1}x_0^{-a+1}-\frac{1}{-a+1}=\frac{1}{a-1}
\end{equation}
而
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}n^{-a}<\int_1^{\infty}x^{-a}=\frac{1}{a-1}
\end{equation}(为什么?)因此$\sum_{n=1}^{\infty}n^{-a}$绝对收敛.再根据魏尔斯特拉斯-m 判别法，可知
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}
\end{equation}
在$(a,b)$上一致收敛.

转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/11/05/3828185.html

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