组合算法/全排列算法/求子集算法

本文介绍组合算法，组合算法有很多，这里只介绍其中一种的两种形式。
全排列：全排列算法
组合：本文
子集算法：求子集算法

组合

leetcode实战：组合

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

从n个数字里面选k个数字，那么至少有一个数字落在这n个数字里面的最后几位或者最前几位，接下来分别考虑这两种情况：

1. 从后开始选：

从n个数字里面选k个，如上图，每个组合中至少有一位数字会落在[k,n]中（当1~k-1都被选中时），也就是说每个组合中一定至少存在一个[k,n]中的数字，因此我们依次从[k,n]中选择一个数字作为我们k组合中的第一个被选择的数字（第1位，当然第2,3…位也有可能处于[k,n]中），为了找到所有组合，必须逆序从n→k选择。

如上图，首先我们选择n作为第一个数字，那么接下来相当于要从[1,n-1]中选择剩下的k-1个数字，这样就回到了最初开始的地方，只是两个参数有变：从n-1个数字中选择k-1个数字。接下来也是同样的理解，一定有一个数字存在[k-1,n-1]中，同样逆序选择[k-1,n-1]中的数字，这就实现了将一个大问题不断拆分成相同的小问题，得到了递归步骤，最后按照上述流程选择数字直到k=0，找到递归边界。当k=0时证明已经找到一个组合，将这个组合存储下来然后退回上层继续遍历寻找其他可能。

逆序选择的原因就是上述流程可以保证找到包含数字n的所有组合，且不产生重复。更具体的来说，如果当前在寻找k个数字中的第i位（第i层递归），那么该流程可以找到[a,b]中的数字位于第i位的所有可能(假设当前参数是从前a个整数中选b个. b<=k, a<=n)。

当n作为第一位被选择的所有可能的组合寻找结束后，再逆序选择n-1作为第一位，继续递归从n-2个数中选择k-1个数字，当选择i作为第一位数字时，则继续从剩下i-1个数字中选k-1个，依次递归直到找到所有可能的组合。
代码如下：

class Solution:def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:ans=[]def sub_combine(n,k,lst=[]):  #n个数里面选k个，保存在lst里if(k==0):    #已经选完ans.append([i for i in lst])returnfor i in range(n,k-1,-1):  #n中选k个，那么一定有一个数存在于[k,n]中，因此从这里一个一个取lst.append(i)          #注意是逆序选，将问题进行划分sub_combine(i-1,k-1)   #选定i后，剩下的存在于[1,i-1]中，即i-1个数中选k-1个lst.pop()          sub_combine(n,k)return ans

2. 从前开始选：

如果我们选择从头开始选择数字，同理，如下图，至少会有一个数字落在[1, n-k+1]中（此处说法并不眼严谨，但为了方便理解先这么写）。因此，我们也可以依次从[1,n-k+1]中顺序选择数字。可以看出，从前开始选和从后开始选这两种方法是一一对应的关系，其中的分析也一致，故不再赘述。

唯一需要注意的点是，在从前开始选的方法中，我们还需要一个初始索引start，用来指示从哪个初始点开始选择数字。以一个例子来说明。

如上图，如果我们第一个数字从[1,n-k+1]中选出了数字1，那么下一个数字必然不能是1，所以应当从1后面的数字开始选，而“后面这个数字”就意味着需要一个索引值来表明到底是从哪个数字开始选，也就是选择的范围是多少。

从后开始选的方法中之所以没有要求一个终止索引，是因为它是逆序选择数字，每次递归的函数sub_combine(i-1,k-1)中的i-1除了表示从i-1个数字中选择k-1个数字，还表明了终止索引为i-1，即从[1,i-1]这个范围中选择k-1个数字。

因此，在从前开始选的方法中要显式使用start索引，每当我们选择好一个数字i之后，我们需要在下一次递归中明确写出，剩下的数字应该从[i+1,n]中选择。因此sub_combine函数变为sub_combine(start,n,k)，即从[start,n]中选择k个数字，start在递归时为i+1，那么就是从[i+1,n]中选择k-1个数字(对应1中方法的从[1,i-1]中选择k-1个数字)。所以严谨地说，也就是从[start,n]中产生一个k组合，至少有一个数字落在范围为[start,n-k+2]中。
代码如下：

class Solution:def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:ans=[]def sub_combine(start,n,k,lst=[]):  #n个数里面选k个，保存在lst里if(k==0):    #已经选完ans.append([i for i in lst])returnfor i in range(start,n-k+2):  #一定有一个数存在于[start,n-k+2]中lst.append(i)          sub_combine(i+1,n,k-1)   #选定i后，剩下的存在于[i+1,n]中lst.pop()          sub_combine(1,n,k)return ans