二维电磁场泊松方程差分格式

由泰勒公式：

以及：

两式做和，截断于项，得到二阶差商：

二维场域内泊松方程为：

于是在等距五点格式下，点的差分方程为

对于拉普拉斯方程，则有：

差分方程组的解法

1直接迭代

由于

于是任意给出各节点处函数值然后带入上式右端，得到第一次函数近似值.

依次循环，以第n次迭代值求得第n+1次近似值，即：

由于此法收敛慢，又消耗两套储存单元，占用内存大，实际中并不采用。

2高斯—赛德尔迭代法

这一方法的基本思想是：在第n+1次迭代时，如果某些相关节点上的第n+1次迭代值已经得到，便可直接将这些新值代入进行运算。因此，高斯—赛德尔迭代法的公式与计算顺序是有关的。在从左到右，从上到下的逐点计算顺序中，高斯—赛德尔公式如下：

可以证明，这一方法迭代次数近似与成反比。但网格节点数目很大时，这一方法收敛速度仍很慢。

3超松弛迭代法

为了加快收敛，引入松弛因子，把高斯—赛德尔迭代法的值作为一个中间结果

取n+1次迭代为和上次迭代值的加权平均，即

整理得：

取值范围一般为[1,2)，其具体值依靠经验。当=1时，还原为高斯—赛德尔迭代法。

应用示例：

对于这一题，编写matlab函数实现功能：输入长、宽节点数以及松弛因子，输出最终迭代结果与迭代次数。这是一个简单矩形无源空间的迪利克雷边界条件问题。不难根据上述原理写出matlab代码如下：

function [Phi2,n] = DSOR(a,b,w)%a列数
%b行数
%w松弛因子Phi = [100*ones(1,a);zeros(b-1,a)]; %生产点阵并配置边界条件
Phi(2:round(b/2-0.5),2:a-1) = 100;  %稍微填充一下内部，减少迭代次数Phi2 = Phi;
Phi1=Phi2;  %生成两个矩阵迭代n=0;    %迭代次数
p=1;    %判断条件，前后两次迭代各元素之差的绝对值的最大值，初始化为1while p>10E-10  %判断条件，p大于10E-10时继续迭代for i = 2:b-1for j = 2:a-1Phi2(i,j) = Phi1(i,j)+w*0.25*(Phi1(i+1,j)+Phi1(i,j+1)+Phi2(i-1,j)+Phi2(i,j-1)-4*Phi1(i,j));endend     %完成一次迭代n=n+1;p=max(max(abs(Phi2-Phi1))); %判断条件，前后两次迭代各元素之差的绝对值的最大值Phi1=Phi2;
end

如下图参数调用此函数

得到结果

下图是在51*51个节点时，与迭代次数的关系：

待更新 ……

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