【132】求把字符串分割成回文串的最少切分次数

给你一个字符串 s，请你将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文。

返回符合要求的最少分割次数。

示例 1：

输入：s = "aab"
输出：1
解释：只需一次分割就可将 s 分割成 ["aa","b"] 这样两个回文子串。
示例 2：

输入：s = "a"
输出：0
示例 3：

输入：s = "ab"
输出：1

提示：

1 <= s.length <= 2000
s 仅由小写英文字母组成

这道题是“求一个字符串的所有 ”回文串那道题的拓展。如何求某个字符串的所有回文子串（或者是说求字符串最长回文子串是多长），用到了DP，也就是一个典型分阶段求最值问题：

1.首先对于求字符串所有回文串

明确状态转移方程：p(i，j)表示字符串从i开始到j结束是否为回文串，这里包括字符i和j

p(i,j) = p(i+1,j-1) (s[i]==s[j])

当字符串长度为1或者2的时候，

i==j :p(i,j) = 1

i==j-1: p(i,j) = 1 且s[i]=s[j] p(i,j) = 0 且s[i]!=s[j]

也就是说通过长度控制，推导

def getAllPaliSubstr(s): N = len(s)dp = []for i in range(N):dp.append([0]*N)for length in range(1,N+1):for i in range(N-length+1):j = i+length-1# print i,jif length==1:dp[i][j] = 1if length==2 and s[i]==s[j]:dp[i][j] = 1if length>2 and dp[i+1][j-1]==1 and s[i]==s[j]:dp[i][j] = 1

2.在回文串中有多少种切割方案

利用DFS，对DP数组求记录，这里也就是针对DP数组，找出所有能从i,到N的路径，通过回溯完成.

时间复杂度：若字符串s中n个字符都相同，则有2^n种划分方法，其中每种划分方法需要遍历n次。时间复杂度为O(n*2^n)。另外动态规划求DP的时间复杂为O(N^2)。总的时间复杂度为O(N*2^N)

空间复杂度：动态规划求DP的复杂度O(N^2)

def dfs(N,s,dp,i,res,tmp):if i==N:res.append(tmp[:])for j in range(N):if dp[i][j]==1:tmp.append(s[i:j+1])dfs(N,s,j+1,res,tmp) #这里下一次从j+1开始，表示前一个回文串最后一个位置的下一个位置tmp.pop()

3.求最少分割次数：

这也就是Leetcode132这道题，刚开始还是想通过dfs进行求解，但是会超时，分析一下，如果不对dfs做剪枝处理，其时间复杂度O(2^N)，远超问题1中O(N^2)的时间复杂度

于是，还是通过动态规划进行求解。

f[i]数组表示第i位置下，最少分割次数，这里可以包含两种情况

一：s[0,i+1]是回文串，也就是dp[0][i]=1,f[i]=0

二：s[j+1，i+1]是回文串，其中0<=j<i,f[i] = min(f[j]+1,f[i])

for i in range(N):if dp[0][i]==1:f[i] = 0else:for j in range(i):if dp[j+1][i]==1:f[i] = min(f[j]+1,f[i])

最终代码：

class Solution(object):def minCut(self, s):""":type s: str:rtype: int"""#复杂度分析：求dp和f数组都是O(N^2)#空间复杂度：需要一个O(N^2)的数组N = len(s)dp = []for i in range(N):dp.append([0]*N)for length in range(1,N+1):for i in range(N-length+1):j = i+length-1# print i,jif length==1:dp[i][j] = 1if length==2 and s[i]==s[j]:dp[i][j] = 1if length>2 and dp[i+1][j-1]==1 and s[i]==s[j]:dp[i][j] = 1if i==0 and j==N-1 and dp[i][j]==1:return 0f = [2000]*Nfor i in range(N):if dp[0][i]==1:f[i] = 0else:for j in range(i):if dp[j+1][i]==1:f[i] = min(f[j]+1,f[i])return f[N-1]