矩阵实验：图形图像处理

矩阵实验

矩阵

工程应用：图像平滑

看待矩阵的四种视角：数据、系统、变换、空间

线性变换

工程应用：图形变化

矩阵变化的推导

总结

矩阵

在线性代数里，用的最多的概念是【矩阵】。

一个具体的矩阵：

一个抽象的矩阵：

矩阵，是把数字按照横竖排起来。

您看上图，前一个是 333 行 555 列 (3∗53*53∗5)，后一个是 333 行 444 列 (3∗43*43∗4)。

来源：向量的扩展，向量是横着的一排数字，每个数字代表一个维度的分量。

比方说，学生的考试科目，是有 NNN 个维度。

那在年纪成绩评比时，通常是按所有维度算的 -> V1=(语文、数学、英语、理科、文科)V1 = (语文、数学、英语、理科、文科)V1=(语文、数学、英语、理科、文科)

而评比单科王是按一个维度算的 -> V2=(语文或数学或英语或...)V2 = (语文 ~或~ 数学 ~或~ 英语~ 或...)V2=(语文或数学或英语或...)

还有一些可能只是按基础算 -> V3=(语文、数学、英语)V3 = (语文、数学、英语)V3=(语文、数学、英语)

V3=(8,9,7)V3 = (8, 9, 7)V3=(8,9,7)，可以用来计算和某个候选人的相似性。

每一个评比的要求都是一个向量，而又有这么多评比，所以就有了 V1、V2、......、VnV1、V2、......、VnV1、V2、......、Vn。

这么多向量如果把它们放在一起，该怎么排列呢？

如同所示，这种把向量按照横竖排起来的摆放方式，是很自然的结果，只不过数学家给它取了一个名字：矩阵，并且发现了一系列相应的计算。

所以说，矩阵就是把向量按照横竖排起来的摆放方式而得来的，矩阵不是原因，而是结果，矩阵产生的原因就是向量的扩展。

作用，是将以前的单个计算（俩个元素的加减乘除）变成了批处理（俩个矩阵的加减乘除）。

如：

俩个元素之间的计算：3∗4=123 * 4 = 123∗4=12
俩个矩阵之间的批处理：(125346)∗(123456)=(1∗13∗22∗34∗45∗56∗6)=(166162536)\begin{pmatrix} 1 &2 &5 \\ 3 &4 &6 \\ \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \\ 5 &6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1*1 &3*2 \\ 2*3 &4*4 \\ 5*5 &6*6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &6 \\ 6 &16 \\ 25 &36 \end{pmatrix}(132456)∗⎝⎛135246⎠⎞=⎝⎛1∗12∗35∗53∗24∗46∗6⎠⎞=⎝⎛162561636⎠⎞

正是这种计算方式，将以前的单个计算（俩个元素的加减乘除）变成了批处理（俩个矩阵的加减乘除）。

这种批处理的计算，与计算机搭配起来，简直是绝配 — 所以，线性代数对于我们来说，生活和工作都能用上。

运算：矩阵加法、矩阵数乘、矩阵乘法。

矩阵加法：[123456]+[111111]=[234567]\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4&5 &6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1 &1 \\ 1& 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 &4 \\ 5&6 &7 \end{bmatrix}[142536]+[111111]=[253647]，前提是俩个相加的矩阵的行列相同
矩阵数乘：n∗[123456]=[n2n3n4n5n6n]n*\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4&5 &6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} n & 2n &3n \\ 4n&5n &6n \end{bmatrix}n∗[142536]=[n4n2n5n3n6n]
矩阵乘法：[123456789101112]∗[271236]=[1∗2+2∗1+3∗31∗7+2∗2+3∗64∗2+5∗1+6∗34∗7+5∗2+6∗67∗2+8∗1+9∗37∗7+8∗2+9∗610∗2+11∗1+12∗310∗7+11∗2+12∗6]\begin{bmatrix} 1 & 2& 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7& 8 & 9\\ 10&11 &12 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 2 & 7\\ 1& 2\\ 3&6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1*2+2*1+3*3 &1*7+2*2+3*6 \\ 4*2+5*1+6*3 &4*7+5*2+6*6 \\ 7*2+8*1+9*3 &7*7+8*2+9*6 \\ 10*2+11*1+12*3 &10*7+11*2+12*6 \end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡147102581136912⎦⎥⎥⎤∗⎣⎡213726⎦⎤=⎣⎢⎢⎡1∗2+2∗1+3∗34∗2+5∗1+6∗37∗2+8∗1+9∗310∗2+11∗1+12∗31∗7+2∗2+3∗64∗7+5∗2+6∗67∗7+8∗2+9∗610∗7+11∗2+12∗6⎦⎥⎥⎤

第一个矩阵的形状是 4∗34*34∗3，第二个矩阵的形状是 3∗23*23∗2 ，俩俩相乘的矩阵是 4∗24*24∗2，中间的 333 被划掉了 ---- 因此俩个矩阵相乘需要满足一个条件，乘号前的矩阵的列数要等于后面矩阵的行数。

矩阵乘法很重要吧，我在编程时经常听别人说起，况且那时候并没有学工程数学。
1. 先确定生成矩阵的尺寸，乘号前的矩阵的列数要等于后面矩阵的行数；
2. 生成矩阵的第 iii 行第 jjj 列的值为：前面矩阵第 iii 行和后面矩阵第 jjj 列的点乘/内积，就是一一对应，每个数字相乘再相加。
矩阵乘法就 333 种情况，和数字、和向量、和矩阵相乘。
矩阵卷积(二维)：矩阵BBB 以某个步长在矩阵AAA 表面 滑动加权求和。

演示一下卷积过程，

接着矩阵 BBB 从矩阵 AAA 的 左上角 准备滑动，如下图：

黄色区域的元素相乘，得到 444 个 111，相加值为 444。

假设设定的滑动步长为 111 ，开始滑动，新一轮计算，方法相同，如下图：

继续滑动，对应位置相乘再求和得到 444，如下图：

继续滑动，对应位置相乘再求和得到 2，如下图：

…，最终矩阵卷积生成的矩阵，对比矩阵AAA 生成的矩阵小了一圈，如下图：

矩阵BBB (小矩阵)，也被称为“卷积核”、“滤波器”；矩阵卷积也是卷积神经网络的原理。

工程应用：图像平滑

上面所说的矩阵卷积是二维的，因此我们以灰色图为例，彩色图是三维的。

图片是由很多 0−2550-2550−255 的值排列而成，像素值越大图片就越亮；

如果像素是 000，那像素即黑色；
如果像素是 255255255，那像素即白色；

而矩阵正好有行、列，我们可以把图片转为矩阵，通过操控矩阵来改变图片。

图片平滑：让一张清晰的图片变模糊。

因为图片的像素值反应了一个图片的亮度，如果我们把图片中的像素值和周围的像素值相似，那整个图片的色调就差不多，也变模糊了。

而图片平滑的过程和矩阵卷积的过程是一样的，最核心的地方就是设计卷积核。

图像平滑算法：

设计一个卷积核，使得图像矩阵的每一个像素值尽可能的与周围的像素值接近，这张图片每部分就会差不多；
积核尺寸、滑动步长、周边范围等超参数设计，以需求而定；
需要考虑一个细节，矩阵卷积生成的矩阵会缩小一圈，图片也会变小一圈；解决方法是在矩阵A最外围补一圈零。

# 运行：在命令行输入 python 当前源文件.py
import numpy as np
from PIL import Image                     # 图片处理模块
from scipy import signal# 1.读取一张图片
filename = "./demo.png"
img_rgb = Image.open(filename)
img_rgb.show()# 2.将彩色图片转为灰度图
img_gray = img_rgb.convert('L')
img_gray.show()# 3.将灰度图转为像素矩阵
matrix = np.asarray(img_gray)
print("matrix.shape=", matrix.shape)  # 4.定义卷积核（均值滤波器）
filter_3x3 = np.array([[ 1/9, 1/9, 1/9 ],[ 1/9, 1/9, 1/9 ],[ 1/9, 1/9, 1/9 ]])print("filter_3x3=", filter_3x3.shape)      # 采用的 3*3 的过滤器
print(np.around(filter_3x3, decimals=2))   # 打印图片的像素值# 5.开始卷积（图像平滑）
result = signal.convolve2d(matrix, filter_3x3, mode='same')
print("result.shape=", result.shape)
print(np.around(result, decimals=0))# 6.把像素矩阵转回图片
img_rlt = Image.fromarray(result)
img_rlt.show()

读取的图片 demo.png：

简单起见，转为黑白图片（二维）：

调用图像平滑算法：

有些模糊了，但 3x33x33x3 可能不太明显，可以改为 7x77x77x7 看看（会更模糊）。

filter_3x3 改为 filter_7x7

# 7x7的，均值是 1/49
filter_7x7 = np.ones((7,7)) / (7*7)

除此之外，卷积核还可以改进，一般采用高斯分布(在保留细节方面，图片平滑效果最好)，因此也称为 “高斯滤波器”。

二维高斯分布：

在 3∗33*33∗3 的矩阵BBB 中，也就是卷积核的权重不要全设置为相同的数；滤波器的设计应该随中心逐层递减。

# 7x7 高斯滤波器
gaussian_filter_7x7 = np.array([  [ 0.00000067, 0.00002292, 0.00019117, 0.00038771, 0.00019117, 0.00002292, 0.00000067],[ 0.00002292, 0.00078633, 0.00655965, 0.01330373, 0.00655965, 0.00078633, 0.00002292],[ 0.00019117, 0.00655965, 0.05472157, 0.11098164, 0.05472157, 0.00655965, 0.00019117],[ 0.00038771, 0.01330373, 0.11098164, 0.22508352, 0.11098164, 0.01330373, 0.00038771],[ 0.00019117, 0.00655965, 0.05472157, 0.11098164, 0.05472157, 0.00655965, 0.00019117],[ 0.00002292, 0.00078633, 0.00655965, 0.01330373, 0.00655965, 0.00078633, 0.00002292],[ 0.00000067, 0.00002292, 0.00019117, 0.00038771, 0.00019117, 0.00002292, 0.00000067] ])# 调用的时候，将 filter_3x3 改为 gaussian_filter_7x7。

除此之外，还可以实现图片的边缘检测(应用在自动驾驶的车道检测、计算机视觉基础等等)。

# 第 4 步，定义卷积核改为定义算子
sobel = np.array([[ -1, -2, -1 ],                        [  0,  0,  0 ],[  1,  2,  1 ]]) # 调用语句 result = signal.convolve2d(matrix, filter_3x3, mode='same')
result = signal.convolve2d(matrix, sobel, mode='same')

左边是原图，右边是效果图（边缘检测算法）：

看待矩阵的四种视角：数据、系统、变换、空间

学线代时，可能比较注重具体的计算，但学完了却发现对线代的理解还是不够深刻。

一个可能的原因是，没有特别深刻的理解，我们在代数中的这些符号，比如说矩阵AAA，这个矩阵AAA 到底表示什么？

代数，是用字母代表数，但我们到底代表的是哪些数…在更加抽象的数学里，我们的代数代表的不仅仅是数，而是一个对象。

那么，代表的这个对象是什么？

这个就是我们要明确的。

看待矩阵的四种视角：

数据：把矩阵看成数据，nnn行mmm列，每一行代表一个样本，每一列代表一个特征，多用于数据科学；
系统：把矩阵看成线性系统（中学的多元一次方程组），那求解那些线性方程组就可以用矩阵运算，多用于计算线性代数的线性方程组；
变换：把矩阵看成对向量的一个函数，或者说是一种变换，因为一个矩阵和一个向量相乘，得到结果依然是向量，可以把矩阵看成输入一个向量，输出一个向量的函数，多用于图形学的图像图形的变化；
空间：把矩阵看成一个空间，这样看一个矩阵乘一个向量，就是向量在矩阵所表示的空间中所对应的位置是哪里，多用于线性代数的向量空间。

线性变换

矩阵可不仅仅是只能处理图片的数字表格，试着换一种角度看矩阵：变换。

矩阵乘法：A∗B=[1−111]∗[11]=[02]A*B=\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1& 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 2 \end{bmatrix}A∗B=[11−11]∗[11]=[02]，画在几何。

向量B向量B向量B(红色) 经过矩阵A矩阵A矩阵A 得到另一个向量(绿色)，矩阵A矩阵A矩阵A 如同一个函数，一个向量输入进去，会输出另一个向量。

只不过，在线性代数里，我们称矩阵A矩阵A矩阵A 为一种变换，即把一个向量(或矩阵)变成另一个变量(或矩阵)。

若我们把矩阵看做一个变换，图形变换就会十分方便。

图形变换：图形的缩放、旋转、仿射等等，也用于游戏开发、动漫制作等等。

工程应用：图形变化

或许您应该有一个疑问，矩阵，是怎样实现图形变换的？？？

图形的变化：

图形旋转
图形平移
图形放大
图形缩小
图形翻转
图形剪切（正体变斜体）
… …

比如，这个是怎么做到的：

经过旋转：

先考虑一个小问题吧，怎么使得一个图形绕 yyy 轴左右翻转？

其实，黄色的梯形是由 444 个点组成，经历 444 个点的坐标，也就是 444 个列向量。

首先，我们让 (x1,y1)(x_{1},y_{1})(x1,y1) 翻转，翻转后也就是 (−x1,y1)(-x_{1},y_{1})(−x1,y1)。

现在我们改为以矩阵的形式翻转：A∗[x1y1]=[−x1y1]A*\begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -x_{1}\\ y_{1} \end{bmatrix}A∗[x1y1]=[−x1y1]

我们需要做的就是找到一个能使其转换完成的矩阵A矩阵A矩阵A，因为输入的矩阵和输出的矩阵都是同行同列(2行, 1列)，根据矩阵乘法的要求，矩阵A矩阵A矩阵A 就必须是 2行, 2列。

得到一个式子：

令 A=[abcd],A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},A=[acbd], 则有：{ax1+by1=−x1cx1+dy1=y1\begin{cases} ax_{1} +by_{1}&= -x_{1}\\ cx_{1}+dy_{1}&= y_{1} \end{cases}{ax1+by1cx1+dy1=−x1=y1

我们确定好 a,b,c,da,b,c,da,b,c,d 四个系数的值，通过比对等式俩边的系数即可，

因为 −x1=ax1-x_{1} = ax_{1}−x1=ax1 ，推出 a=−1,b=0a = -1, ~b=0a=−1, b=0；
因为 y1=dy1y_{1}=dy_{1}y1=dy1，推出 c=0,d=1c=0,~d=1c=0, d=1；

所以，矩阵 A=[−1001]A =\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}A=[−1001]。

可这个翻转计算只是针对 (x1,y1)(x_{1},y_{1})(x1,y1)，为了提高计算效率（批处理），我们把 x1⋯xnx_{1}\cdots x_{n}x1⋯xn 的点化为列向量后，排成一个矩阵。

矩阵AAA 再和排成的矩阵计算即可：

[−1001]∗[x1x2x3x4y1y2y3y4]=[−x1−x2−x3−x4y1y2y3y4]\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -x_{1} & -x_{2} & -x_{3} & -x_{4} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} \end{bmatrix}[−1001]∗[x1y1x2y2x3y3x4y4]=[−x1y1−x2y2−x3y3−x4y4]

以上是图形的左右翻转(绕 yyy 轴)。

图形的上下翻转(绕 xxx 轴)原理也相同。

[−1001]∗[x1x2x3x4y1y2y3y4]=[x1x2x3x4−y1−y2−y3−y4]\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ -y_{1} & -y_{2} & -y_{3} & -y_{4} \end{bmatrix}[−1001]∗[x1y1x2y2x3y3x4y4]=[x1−y1x2−y2x3−y3x4−y4]

线性变换，也可以实现图形的水平剪切。

剪切：把正体字变成 斜体字，就是一个剪切。

图形的水平剪切如上图，纵坐标不变，横坐标运动。

结合矩阵：[abcd]∗[xy]=[x+kyy]\begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x+ky\\ y \end{bmatrix}[acbd]∗[xy]=[x+kyy]，有一个控制系数 kkk.

根据矩阵乘法，令 A=[abcd],A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},A=[acbd], 则有：{ax+by=x+kycx+dy=y\begin{cases} ax+by&= x+ky\\ cx+dy&= y \end{cases}{ax+bycx+dy=x+ky=y

通过对比系数，[1k01]∗[xy]=[x+kyy]\begin{bmatrix} 1 &k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x+ky \\ y \end{bmatrix}[10k1]∗[xy]=[x+kyy]，当 k>0k>0k>0 时，往右剪切；当 k<0k<0k<0 时，往左剪切。

图形的竖直剪切如下图，纵坐标运动，横坐标不变。

变换矩阵：[1k01]∗[xy]=[xkx+y]\begin{bmatrix} 1 &k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x \\ kx+y \end{bmatrix}[10k1]∗[xy]=[xkx+y]，注意 kkk 的值，变换的方向不一样。

完整代码：

# 运行：在命令行输入 python 当前源文件.py
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 1.定义变换矩阵A，用于图形平移(竖直平移)
A = np.array([[1,0],[0,-1]])# 1.定义变换矩阵A，用于图形剪切
# k = -0.8
# A = np.array([[1,0],[k,1]])# 1.定义变换矩阵A，图形旋转
# theta = -(3.14/4)
# A = np.array([[np.cos(theta),np.sin(theta)],[-np.sin(theta),np.cos(theta)]])# 1.定义变换矩阵A，图形整体放大 1 倍
# A = np.array([[2,0],[0,-2]])  # 1.定义变换矩阵A，图形整体缩小 0.75 倍
# A = np.array([[0.5,0],[0,0.5]])  # 2. 定义输入矩阵（即输入图形）
B = np.array([[0, 1, 1, 0, 0],[1, 1, 0, 0, 1]])# 3. 计算输出矩阵（矩阵乘法）
Y = np.dot(A,B)# 4. 绘制图形
plt.axis([-3,3,-3,3])
plt.axvline(x=0, color='#A9A9A9')
plt.axhline(y=0, color='#A9A9A9')
plt.grid(True)
plt.plot(B[0],B[1],'-yo',lw=2)  # 绘制输入图形
plt.plot(Y[0],Y[1],'-go',lw=2)  # 绘制输入图形
plt.show()

具体用法，请往下看。

图形平移：

竖直平移的变换矩阵是：A=[100−1]A = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{bmatrix}A=[100−1]，水平平移的变换矩阵是：A=[−1001]A = \begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}A=[−1001]。

# 1.定义变换矩阵A，用于图形平移(竖直平移)
A = np.array([[1,0],[0,-1]])

图形剪切：

水平剪切的变换矩阵是：A=[1k01]A = \begin{bmatrix} 1 &k \\ 0& 1 \end{bmatrix}A=[10k1]，竖直剪切的变换矩阵是：A=[10k1]A = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ k& 1 \end{bmatrix}A=[1k01]，会影响方向。

# 1.定义变换矩阵A，用于图形剪切
k = -0.8
A = np.array([[1,0],[k,1]])

图形放大：

水平放大的矩阵是：A=[1002]A = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 2 \end{bmatrix}A=[1002]，竖直放大的变换矩阵是：A=[2001]A = \begin{bmatrix} 2 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}A=[2001]

# 1.定义变换矩阵A，图形整体放大 1 倍
A = np.array([[2,0],[0,2]])

图形缩小同理。

图形旋转：

逆时针旋转的变换矩阵是：A=[cosθsinθ−sinθcosθ](θ<0)A = \begin{bmatrix} cos\theta &sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}(\theta <0)A=[cosθ−sinθsinθcosθ](θ<0)，顺时针旋转的变换矩阵是：A=[cosθsinθ−sinθcosθ](θ>0)A = \begin{bmatrix} cos\theta &sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}(\theta >0)A=[cosθ−sinθsinθcosθ](θ>0)。

# 1.定义变换矩阵A，图形旋转
theta = -(3.14/4)
A = np.array([[np.cos(theta),np.sin(theta)],[-np.sin(theta),np.cos(theta)]])

旋转的角度最复杂，我们可能不太清楚这个角度是怎么来的。

矩阵变化的推导

我们推导一下，图形旋转的变化过程。

推导的前置知识：高中的三角函数。

不一定要每一步都弄明白，但要知道我们可以把矩阵看成一种对向量的变换（函数），这个很重要，理解的越深刻越好。

我们看最简单的情况，如下图。

蓝色的向量旋转 θ\thetaθ 度角得到红线，如果我们设这个变换的矩阵为 a,b,c,da,b,c,da,b,c,d，则有这样一个式子：

令 A=[abcd]A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}A=[acbd]，则有：[abcd]∗[xy]=[x′y′]\begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'} \end{bmatrix}[acbd]∗[xy]=[x′y′]。

因为是经过旋转得到的，因此新的坐标和原来的坐标一定是有联系的，这个联系就是角度 θ,α\theta ,~\alphaθ, α。

推导过程：

设向量(蓝色)的模为 LLL，由三角关系式得到：cos(α)=xLcos(\alpha )=\frac{x}{L}cos(α)=Lx，即 L=xcos(α)L=\frac{x}{cos(\alpha )}L=cos(α)x；sin(α)=yLsin(\alpha )=\frac{y}{L}sin(α)=Ly，即 L=ysin(α)L = \frac{y}{sin(\alpha )}L=sin(α)y。
向量(红色)由于仅有旋转没有伸缩，因此红色向量的模依然是 LLL：cos(α−θ)=x′Lcos(\alpha -\theta )=\frac{x^{'}}{L}cos(α−θ)=Lx′，即 L=x′cos(a−θ)L=\frac{x^{'}}{cos(a-\theta )}L=cos(a−θ)x′；sin(a−θ)=y′Lsin(a-\theta )=\frac{y^{'}}{L}sin(a−θ)=Ly′，即 L=y′sin(α−θ)L=\frac{y^{'}}{sin(\alpha -\theta )}L=sin(α−θ)y′
x′=cos(α−θ)cosαxx^{'}=\frac{cos(\alpha -\theta )}{cos\alpha }xx′=cosαcos(α−θ)x, y′=sin(α−θ)sinαyy^{'}=\frac{sin(\alpha -\theta )}{sin\alpha }yy′=sinαsin(α−θ)y
[abcd]∗[xy]=[cos(α−θ)cosαxsin(α−θ)sinαy]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{cos(\alpha -\theta )}{cos\alpha }x\\ \frac{sin(\alpha -\theta )}{sin\alpha }y \end{bmatrix}[acbd]∗[xy]=[cosαcos(α−θ)xsinαsin(α−θ)y]，比对系数确定 a,b,c,da,~b,~c,~da, b, c, d
ax+by=cos(α−θ)cosαx=cosα∗cosθ+sinαsinθcosαx=cosθ∗x+tanα∗sinθ∗x=cosθ∗x+yxsinθ∗x=cosθ∗x+sinθ∗yax+by=\frac{cos(\alpha -\theta )}{cos\alpha }x=\frac{cos\alpha* cos\theta +sin\alpha sin\theta }{cos\alpha }x=cos\theta *x+tan\alpha *sin\theta *x=cos\theta *x+\frac{y}{x}sin\theta *x=cos\theta *x+sin\theta *yax+by=cosαcos(α−θ)x=cosαcosα∗cosθ+sinαsinθx=cosθ∗x+tanα∗sinθ∗x=cosθ∗x+xysinθ∗x=cosθ∗x+sinθ∗y，一步步化简得到最后的。
cx+dy=sin(a−θ)sinαy=sinαcosθ+cosαsinθsinαy=−sinθ∗x+cosθ∗ycx+dy=\frac{sin(a-\theta )}{sin\alpha }y=\frac{sin\alpha~ cos\theta +cos\alpha sin\theta }{sin\alpha }y=-sin\theta *x+cos\theta *ycx+dy=sinαsin(a−θ)y=sinαsinα cosθ+cosαsinθy=−sinθ∗x+cosθ∗y
[cosθsinθ−sinθcosθ]\begin{bmatrix} cos\theta &sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}[cosθ−sinθsinθcosθ]，这个结果就是变换矩阵AAA 呀！！！

图形旋转角度就是这么推导过来的，在《数学女孩 4》的矩阵 — 线性变换一节，里面就有其TA图形变换的推导过程。

总结

第一部分，介绍了矩阵、来源、运算，工程应用是矩阵卷积，趁热打铁去搞定卷积网络吧。

第二部分，介绍了看待矩阵的四种视角，我们选的是变换，工程应用是图形图像处理。

归根结底，是函数表示变换。任意函数都是从输入到输出的变换。矩阵可以看做是向量的函数：）

这种变换，还可以扩展到三维空间，比如说电视成像、转播。

电视机成像的原理大概是，通过一把电子枪，把电子打到屏幕上：

不过对于这样的彩色图片一把电子枪是不够的：

可以把这幅图片以红色、绿色、蓝色为基，分为三张图片：

用三把电子枪分别把红色RRR、绿色GGG、蓝色BBB 的电子打到屏幕上，来呈现出彩色的画面：

电视转播则不同，信号不是以红色RRR、绿色GGG、蓝色BBB 的电子传过来的，而是另一个颜色空间的表示方法。

不是靠三原色 RGBRGBRGB 传递，而是通过 YCbCrYC_bC_rYCbCr、YPbPrYP_bP_rYPbPr 传递。

YCbCrYC_bC_rYCbCr，采用亮度-色差来描述颜色的颜色空间
YPbPrYP_bP_rYPbPr ，模拟视频中的明度、彩度、同步脉冲分解开来各自传送的端子。

彩色电视机背后有 YPbPrYP_bP_rYPbPr、YCbCrYC_bC_rYCbCr 接口，完整地插入 YPbPrYP_bP_rYPbPr 、YCbCrYC_bC_rYCbCr 信号就可以看到彩色图片了：

若是接入 YYY，可产生黑白图像；
若是再接入 Pb/CbP_b/C_bPb/Cb 、Pr/CrP_r/C_rPr/Cr ，就会产生彩色图像。

将 RGBRGBRGB 转换为 YPrPbYP_rP_bYPrPb、YCbCrYC_bC_rYCbCr，这个过程也是矩阵函数的一个实例：

加油：）