数据结构003：有效的数独

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题目

请你判断一个 9 x 9 的数独是否有效。只需要 根据以下规则 ，验证已经填入的数字是否有效即可。

数字 1-9 在每一行只能出现一次。

数字 1-9 在每一列只能出现一次。

数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。（请参考示例图）

注意：

一个有效的数独（部分已被填充）不一定是可解的。

只需要根据以上规则，验证已经填入的数字是否有效即可。

空白格用 '.' 表示。

示例 1：
输入：board =
[["5","3",".",".","7",".",".",".","."]
,["6",".",".","1","9","5",".",".","."]
,[".","9","8",".",".",".",".","6","."]
,["8",".",".",".","6",".",".",".","3"]
,["4",".",".","8",".","3",".",".","1"]
,["7",".",".",".","2",".",".",".","6"]
,[".","6",".",".",".",".","2","8","."]
,[".",".",".","4","1","9",".",".","5"]
,[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
输出：true
示例 2：
输入：board =
[["8","3",".",".","7",".",".",".","."]
,["6",".",".","1","9","5",".",".","."]
,[".","9","8",".",".",".",".","6","."]
,["8",".",".",".","6",".",".",".","3"]
,["4",".",".","8",".","3",".",".","1"]
,["7",".",".",".","2",".",".",".","6"]
,[".","6",".",".",".",".","2","8","."]
,[".",".",".","4","1","9",".",".","5"]
,[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
输出：false
解释：除了第一行的第一个数字从 5 改为 8 以外，空格内其他数字均与 示例1 相同。 但由于位于左上角的 3x3 宫内有两个 8 存在, 因此这个数独是无效的。

题解

根据题目的规则，数独需要满足三个规则，针对规则一和二可知，我们在遍历每个元素的时候，需要判断该元素所在行和列中是否出现过，即可判断该元素是否满足规则一和二，因此我们可以针对每一行、每一列出现元素的次数作为校验标准，例如声明两个二维数组 r o w [ 9 ] [ 9 ] row[9][9] row[9][9]和 c o l [ 9 ] [ 9 ] col[9][9] col[9][9]分别代表行和列上面 0 − 9 0-9 0−9出现的次数。例如 r o w [ 1 ] [ 2 ] row[1][2] row[1][2]表示第1行中，出现2的次数， c o l [ 4 ] [ 3 ] col[4][3] col[4][3]表示第4列出现3的次数（都是从第0行/列开始算的）。对于数独数组第 i i i行 j j j列上的数值 n = b o a r d [ i ] [ j ] n=board[i][j] n=board[i][j]，首先将 r o w [ i ] [ n ] row[i][n] row[i][n]上对应的值加一，再将 c o l [ j ] [ n ] col[j][n] col[j][n]也加一，然后判断 r o w [ i ] [ n ] row[i][n] row[i][n]和 r o w [ i ] [ n ] row[i][n] row[i][n]的值是否大于1，大于1则表明 i i i行或者 j j j列数字 n n n出现的次数大于1，即不唯一。不满足规则一或者二。

对于规则三，我们可以根据元素 b o a r d [ i ] [ j ] board[i][j] board[i][j]的 i i i和 j j j的索引除以3来进行判断其属于哪个小九宫格，即其对应的小九宫格的索引为 i / 3 i/3 i/3和 j / 3 j/3 j/3。因此我们可构建一个 b o x [ 3 ] [ 3 ] [ 9 ] box[3][3][9] box[3][3][9]的三位数组来记录每个小九宫格中 0 − 9 0-9 0−9出现的次数，例如 b o x [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] box[1][2][3] box[1][2][3]表示第一行第二列的九宫格中出现数字3的次数，我们的思路与 r o w row row和 c o l col col一样，遍历每个元素 n = b o a r d [ i ] [ j ] n=board[i][j] n=board[i][j]，并将 b o x [ i / 3 ] [ j / 3 ] [ n ] box[i/3][j/3][n] box[i/3][j/3][n]的值加一，在判断其是否大于1。

通过上面的分析，我们的实现代码如下：

class Solution {public:bool isValidSudoku(vector<vector<char>>& board) {int row[9][9] = {0};int col[9][9] = {0};int box[3][3][9] = {0};for (int i = 0; i < 9; i++) {for (int j = 0; j < 9; j++) {char c = board[i][j];if (c == '.') continue;int n = c - '1';row[i][n]++;col[j][n]++;box[i / 3][j / 3][n]++;if (row[i][n] > 1 || col[j][n] > 1 || box[i / 3][j / 3][n] > 1) {return false;}}}return true;}
};

由于数独共有81个单元格，只需要对每个单元格遍历一次即可，因此其时间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1)。由于数独的大小固定，因此空间的大小也是固定的，空间复杂度也为 O ( 1 ) O(1) O(1)。

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