线面积分其实没那么难

笔者学习这部分内容的时候，恰逢新冠疫情导致在家上网课。众所周知as everyone knows，在家上网课=没上。所以我这部分就没学明白，当时爱玩LOL，边打游戏边看网课，玩着亚托克斯，老师讲着斯托克斯。后来等考研复习的时候，由于我基础没打好，对这部分内容的敬畏和恐惧也油然而生。当然，这部分每年考研都会出一道大题和一道小题，难度并不大，所以这些分数必须拿下。在这过程中对于我最初学习的困惑给出了自己的想法。

什么叫曲线曲面积分，跟二重、三重积分有什么差别

当我们学完重积分之后开始学线面积分的时候，我们可能一脸懵逼。这怎么被积函数和被积区域长得这么像？被积区域是啥？为啥线面积分能把方程带入进被积函数里？这些疑问都会导致我们对这部分知识理解出现模糊。实际上我们只需要把握住两个部分：①积分区间的几何形状②被积元素。
对于一重积分来说
∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b} f(x)dx ∫abf(x)dx
积分区间表示一条沿x轴的直线从x=a变化到x=b，x可以存在这条直线上任何一点。dx表示单变量x变化。对于极坐标 d r dr dr和 d θ d\theta dθ，都是一样的。
对于二重积分来说
∬ D x y f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D_{xy}}^{} f(x,y)d\sigma Dxy∬f(x,y)dσ
积分区间表示 D x y D_{}xy Dxy所构成的几何图形平面， ( x , y ) (x,y) (x,y)可以存在这个平面内任何一点。 d σ d\sigma dσ表示被积元素是一个微小面积，见课本的描述

所以 d σ d\sigma dσ也就看成dxdy，我们需要积分两次。
对于三重积分来说
∭ Ω x y z f ( x , y , z ) d ν \iiint\limits_{\Omega_{xyz} }^{}f(x,y,z)d\nu Ωxyz∭f(x,y,z)dν
积分区间表示在 Ω x y z \Omega_{xyz} Ωxyz所表示的空间几何体， ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)可以存在这个空间几何体内的任何一点。 d ν d\nu dν表示被积元素是一个小几何体，见课本描述

所以我们对dxdydz积分共三次。
总结一下：一重积分的积分区域是一条线，二重积分的积分区域是一个平面，三重积分的积分区域是一个几何体的内部，而不仅是表面。
那么曲线积分就是将一重积分的积分区域从直线变成了曲线；曲面积分就是将二重积分的积分区域从平面变成了曲面。

为啥有时候能把方程代入被积函数？

For example：

大家考虑一下①和②哪一个可以把 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1代入被积函数？
在做题的时候，大家可能会疑惑：为啥有时候被积区域的方程可以代入被积函数，有时候不能代入？
这其实是由于被积变量所存在的位置决定。
当我们计算二重积分，三重积分的时候，此时(x,y)或者(x,y,z)是分布在平面内或者几何体内，而不是局限在平面的外边缘和几何体的外表面。就上面的例子来说，(x,y)不仅位于 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1上，还在 x 2 + y 2 < 1 x^2+y^2<1 x2+y2<1这个平面内，那么在 D x y D_{xy} Dxy内 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1就不是恒成立的，就不可以代入。
而在计算曲面曲线积分的时候，此时(x,y)或者(x,y,z)是分布在曲线、曲面上，也就是说，(x,y)恒满足 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1，这个时候就可以把方程代入啦。

dS和dxdy、dydz、dxdz有啥关系

在曲线积分中，因为被积元素是ds，即一段微小弧长，而在第三章微分中我们知道
弧微分的关系式
d s = 1 + f ′ ( x ) 2 d x ds=\sqrt{1+{f'(x)^2}} dx ds=1+f′(x)2 dx
那么我们就可以将难以计算的ds给转换为易于计算的dx了。
那么dS是什么呢？跟 d σ d\sigma dσ有啥区别？跟dxdy、dydz、dxdz有啥关系？
由前面我们知道 d σ = d x d y d\sigma =dxdy dσ=dxdy，因为 σ \sigma σ是在一个xOy平面内被积区域中的一个微小平面区域。而曲面积分的被积区域是一个曲面，那么dS就是在这个曲面上的一个微小曲面区域。既然dS不是平面，那么就跟在xOy面上的dxdy肯定不相等了。但微积分注重一个“以直代曲”，我们就取一个十分微小的矩形dS，这时候虽然dS不和xOy面平行，但也是一个小平面，只不过两者之间有一定的角度。这个偏转就是关于z的方向余弦。换句话说，dxdy就是dS在xOy面的投影。

那么这里为啥是 1 + z x 2 + z y 2 \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} 1+zx2+zy2 ，我们可以这样理解：存在一个垂直于yOz面的平面，我们从x的正方向往负方向看去，这个平面就变成了一条直线：

这个时候平面的面积S和平面在xOy面投影的面积Sxy的数量关系就显而易见了。这只是举了个特例进行验证，严格证明我也不清楚，可以参考相关资料~
而dydz和dxdz也是同样的理解，我就不再赘述了。

如何判断线面积分的奇偶性和轮换对称性

这道题怎么做呢？看我的手法

相信大家写到这里之后就傻眼了：这被积函数跟方程P关系没有，没法直接代入式子了。然后开始采用一般的方法
∫ a b ( x 2 + 4 x y + 4 y 2 ) 1 + f ′ ( x ) 2 d x \int_{a}^{b} (x^2+4xy+4y^2)\sqrt{1+{f'(x)}^2}dx ∫ab(x2+4xy+4y2)1+f′(x)2 dx
结果这式子复杂的一P，这题感觉寄了。。要我说，这样做你就慢了。
这部分出题的时候，你积了半天发现式子太复杂没法做，一边骂破题一边翻开答案发现，人家利用奇偶性和轮换对称性化简了式子，题目立马明朗起来。而你只会悔恨当初自己为什么没想到······
做题的时候养成习惯，先看看有没有能利用奇偶性和轮换对称性的，尤其被积区域是一个圆、球、锥、柱体。
首先是奇偶性
奇偶性是指被积区域关于某个轴对称（ L : x 2 + y 2 = 1 L:x^2+y^2 = 1 L:x2+y2=1），而被积函数正好关于这个变量是奇函数（ f ( x ) = x y f(x) =xy f(x)=xy），那么
∮ L f ( x ) d s = 0 \oint_{L}^{}f(x)ds=0 ∮Lf(x)ds=0
若被积函数关于这个变量是偶函数（ f ( x ) = x 2 y f(x)=x^2y f(x)=x2y），那么
∮ L f ( x ) d s = 2 ∮ L ′ f ( x ) d s 其中 L ’： { x 2 + y 2 = 1 x ≥ 0 \oint_{L}^{}f(x)ds=2\oint_{L'}^{}f(x)ds \\ 其中L’：\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ x \ge 0 \end{cases} \\ ∮Lf(x)ds=2∮L′f(x)ds其中L’：{x2+y2=1x≥0
总之要利用奇偶性，被积区域必须是关于某个轴对称，再去考虑被积函数的奇偶性。
而轮换对称性是更更更重要的，因为它能化简一些看似很难算的积分，就比如说上面的那道题目。
那么啥是轮换对称性？
若 f ( x , y ) = f ( y , x ) ，说明 f ( x , y ) 关于 x ， y 有轮换对称性。若f(x,y)=f(y,x)，说明f(x,y)关于x，y有轮换对称性。\\ 若f(x,y)=f(y,x)，说明f(x,y)关于x，y有轮换对称性。
只要把方程的两个参数交换位置，而方程形式不变，就说明这两个参数有轮换对称性。
同样的，轮换对称性也是用被积区间所决定的。当积分区间容易表示，如一个平面关于y=x对称，那么就说明x，y具有轮换对称性
∬ f ( x , y ) d x d y = ∬ f ( y , x ) d x d y = 1 2 ∬ [ f ( x , y ) + f ( y , x ) ] d x d y \iint f(x,y)dxdy=\iint f(y,x)dxdy=\frac{1}{2} \iint [f(x,y)+f(y,x)]dxdy ∬f(x,y)dxdy=∬f(y,x)dxdy=21∬[f(x,y)+f(y,x)]dxdy
如果积分区间不容易表示或画出来，就比如说上面的交线方程
{ x 2 + y 2 + z 2 = 1 x + y + z = 0 \begin{cases} x^2+y^2+z^2=1\\ x+y+z=0 \end{cases} {x2+y2+z2=1x+y+z=0
我们就可以试着两两对换一下方程里的x,y,z，观察对换后的方程和原来是否相同，这也可以说明具有轮换对称性。
那么很显然了，本题x,y,z两两都具有轮换对称性。

大家可以严格按照轮换对称性的定义，去分析上面步骤是如何得出来的，至此我们就可以把方程给代入进被积函数啦~~~
提两个小问题：

1. 为啥 ∮ x 2 d s = ∮ x 2 d s = ∮ z 2 d s 1.为啥 \oint x^2ds=\oint x^2ds=\oint z^2ds 1.为啥∮x2ds=∮x2ds=∮z2ds
2. 为啥 ∮ x y d s = ∮ x z d s = ∮ y z d s 2.为啥 \oint xyds=\oint xzds=\oint yzds 2.为啥∮xyds=∮xzds=∮yzds

小tip：

通常我们做这部分题目需要画图，因为我们如果能直观的感受到这个图形，对做题是非常有帮助的。但碍于我们的空间想象的能力缺乏以及图形的复杂，我们并不能完整的画出来交线或者截面。但我们可以定性的分析一下：
{ x 2 + y 2 + z 2 = 1 x + y + z = 0 \begin{cases} x^2+y^2+z^2=1\\ x+y+z=0 \end{cases} {x2+y2+z2=1x+y+z=0
以这个方程为例，是由一个球面和一个平面相交截得的一条曲线。那么我们能得到什么呢？

平面过原点，那么曲线的周长即为球体最大截面圆的周长
曲线是球体的曲线，截面是平面的截面
球体约束了曲线的投影；平面约束了截面的方向余弦
坐标面投影是一个椭圆
······

文字很多，但都是我自己所总结和思考的一些东西。我觉得课本是用来查漏补缺的，我们在一轮复习的时候很多东西都是只重视计算过程，没注重概念的理解。在二轮复习的时候理所当然会有很多的疑问，这时候我们再回归课本，有着一轮的基础以后我们对课本的认识也会更加的深刻。所以我在写博客的时候会时不时翻阅课本，有些内容也是直接来自课本，这样才能对知识的理解上升一个维度。
大家如果觉得不错，下周开级数的坑。最近做题被级数折磨的头疼，下周必须给它拿下！！！

2023.1.3更新

终于考完了，发现电脑里有之前做的思维导图

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