Levy分布

Levy flight（Levy飞行）

Levy分布

概率论和统计学中，以PaulLévy命名的Lévy分布是非负随机变量的连续概率分布。在光谱学中，这种以频率为因变量的分布称为范德华分布（van der Waals profile）。这是反伽马分布（inverse-gamma distribution）的一种特殊情况。这是一个稳定的分布。

Levy分布的数学形式为：

$f(x;\mu,c)=\sqrt{\frac{c}{2\pi}}\frac{e^{-\frac{c}{2(x-\mu)}}}{(x-\mu)^{3/2}}$

其中 $\mu$ 是位置参数（location parameter），影响分布曲线的左右平移，使其分布区间为 $[\mu,\infty]$ ，c是标度参数（scale parameter，数值越大分布越分散）。

其累积分布函数为：

$F(x;\mu,c)=erfc\left ( \sqrt{\frac{c}{2(x-\mu)}} \right )=2-2\Phi\left ( \sqrt{\frac{c}{(x-\mu)}} \right )$

其中 $erfc(z)$ 为补偿误差函数（complementary error function）， $\Phi(x)$ 是Laplace函数。

跟所有的稳定分布（stable distribution）一样，Levy分布具有标准的形式 $f(x;0,1)$ ：

$f(x;\mu,c)dx=f(y;0,1)dy$

其中 $y$ 被定义为：

$y=\frac{x-\mu}{c}$

Levy分布的特征函数为：

$\varphi(t;\mu,c)=e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}$

注意其可以被写作稳定分布下的形式：

$\varphi(t;\mu,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}(1-i sign(t))}$

当 $\mu=0$ 时，其n阶矩可以表示为：

$m_{n}\overset{\text{def}}{=}\sqrt{\frac{c}{2\pi}}\int^{\infty}_{0}\frac{e^{-c/2x}x^{n}}{x^{3/2}}dx$

当 $n\geq0.5$ 时，积分会发散，所以Levy分布并不存在整数矩。

像其他平稳分布（stable distribution）一样，Levy分布具有幂律重尾（heavy-tailed）性质：

$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x;\mu,c)\sim \sqrt{\frac{c}{2\pi}}\frac{1}{x^{3/2}}$

这说明了其不只是重尾的而且是肥尾的（fat-tailed，指幂次较小）。另外注意“~”的意思为渐进等价。

Levy flight（Levy飞行）

Levy飞行是一种随机行走，步长具有Levy分布，该概率分布是重尾的。当定义为在尺寸大于1的空间中行走时，所执行的步骤是各向同性的随机方向。 “莱维飞行”一词是由Benoît Mandelbrot 提出的，他将其用于步距分布的一种特定定义。对于步长分布为Cauchy分布的情况，他使用术语Cauchy飞行；当正态分布为时，则使用Rayleigh飞行术语（这不是重尾概率分布的示例））。后来的研究人员扩展了“Lévy飞行”一词的使用，以包括随机游走发生在离散网格而不是连续空间上的情况。Mandelbrot使用术语“Lévyflight” 的特殊情况是由步长分布U的幸存函数（通常称为生存函数）定义的：

$Pr(U>u)=\left\{ \begin{aligned} 1 & &:u<1 \\u^{-D} &&:u\geq1\\ \end{aligned} \right.$

上面左图为Levy飞行，右图为Brownian运动。

Levy飞行是按照马尔可夫过程构造的。对于满足幂次条件的步长大小的一般分布，由于进行了广泛的中心极限定理，经过大量步长后，从随机游走的原点开始的距离趋于稳定分布，从而使许多过程能够使用Lévy飞行进行建模。可以使用Fokker-Planck方程的广义形式对经历Levy飞行的粒子的概率密度进行建模，该模型通常用于对布朗运动进行建模。该方程式需要使用分数导数。对于具有对称概率分布的跳跃长度，该方程式采用Riesz分数导数的简单形式。在一维中，等式为：

$\frac{\partial \varphi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\varphi(x,t)+\gamma\frac{\partial^{\alpha}\varphi(x,t)}{\partial|x|^\alpha}$

其中 $\gamma$ 是类似于扩散常数的常数， $\alpha$ 是稳定性参数， $f(x,t)$ 是电势。Riesz导数可以通过傅里叶变换来理解：

$F_{k}\left [ \frac{\partial^{\alpha}\varphi(x,t)}{\partial|x|^{\alpha}} \right ]=-|k|^{\alpha}F_{k}[\varphi(x,t)]$

这个结果可以轻松扩展到多个维度。

Levy飞行的另外一个重要特性是在所有情况下均具有发散方差（除了 $\alpha=2$ 之外，即布朗运动）。通常，如果 $\alpha\leq\theta$ ，则分布的 $\theta$ 分数矩会发散。同样：

$\left \langle |x|^{\theta} \right \rangle\propto t^{\theta/\alpha}if\theta<\alpha$

步长的指数缩放给出Levy飞行具有标度不变性，它们用于对表现出聚类的数据进行建模。

Lévy飞行的定义源于与混沌理论相关的数学，可用于随机或伪随机自然现象的随机测量和模拟。例子包括地震数据分析，金融数学，密码学，信号分析以及在天文学，生物学和物理学中的许多应用。另一个应用是Lévy飞行搜寻假说。当鲨鱼和其他海洋掠食者找不到食物时，他们放弃了布朗运动，即涡旋气体分子中出现的随机运动，进行了莱维飞行，这是长轨迹和湍流中短时随机运动的混合。研究人员分析了来自大西洋和太平洋地区14种海洋捕食物种的55种数据记录器标记的动物，在5700天内记录了超过1200万次运动，这些动物包括柔滑的鲨鱼，黄鳍金枪鱼，蓝枪鱼和旗鱼。数据表明，莱维飞行中穿插着布朗运动可以描述动物的狩猎方式。鸟类和其他动物（包括人类）遵循使用列维飞行建模的路径（例如，在寻找食物时）。显然，其他模型也可以模仿生物飞行数据，例如复合相关随机游走，这些游标跨尺度增长以收敛于最佳Lévy游走。可以将复合布朗人步道微调为理论上最佳的Lévy人行道，但它们在大多数景观类型上的搜索效率不及Lévy人，表明Lévy人行道特征的选择压力比多尺度正态扩散模式更有可能。网络中的有效路由可以通过具有Levy飞行长度分布且具有特定alpha值的链接来执行。

动物的运动在许多方面都非常类似于流体中灰尘颗粒的随机游动。这种相似性引起了人们对尝试通过类似于布朗运动的方式了解动物如何运动的兴趣。这种传统观念一直持续到1990年代初。然而，从1980年代后期开始，证据开始积累，这与理论预测不符。1999年，对Lévy航班的性质进行的理论研究表明，在某些情况下，飞行时间或距离的平方反比分布可以优化搜索效率。具体而言，基于平方反比Lévy步长的搜索（在路径长度沿平方反比Levy稳定分布分布的路径上进行等速搜索）对于在没有内存的情况下稀疏和随机分布的可重现目标进行搜索是最佳的。由Gandhimohan M. Viswanathan，Sergey V. Buldyrev，Marcos Gomes E. da Luz，Shlomo Havlin，Ernesto P. Raposo和H. Eugene Stanley组成的研究小组于1999年在《自然》杂志上发表了这些结果。关于Lévy飞行觅食的现实存在一些争议。早期研究仅限于小范围的运动，因此不能明确确定运动的类型。 2007年，在对信天翁的漂泊研究中发现了缺陷，这是这种策略的第一个经验例证。但是，有很多新的研究支持Lévy飞行搜寻假说。最近的研究使用更新的统计方法和较大的数据集显示更长的运动路径。2012年和2013年发表的研究重新分析了信天翁的觅食路径，并得出了对Lévy截断飞行和Brownian步行的有力支持，这与对Lévy觅食假说的预测是一致的。从理论上看，最近的一项研究质疑1999年发表的最优结果的有效性，认为对于二维或三维随机游走，该结果仅在非常特定的条件下有效：（i）觅食目标后，它必须无限快速地重新出现，（ii）与目标的典型大小相比，动物移位的典型规模必须非常小；（iii）找到目标后，动物已经在这个目标的边界附近无限地开始新的随机游走。如果此条件中的任何一个无效，则最优结果将不成立：平方反比Levy行走不是最优的，任何最优Levy行走相对于其他对象的增益必然是边际的（即当密度增加时它不会发散）的目标较低）。

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