算法核心概念及思想

算法的产生

概念

拯救时间的函数

例题：《加法链》

如题，由于此文章只讲“迭代加深”，所以请先了解what “深度优先搜索” is。

算法核心概念及思想

算法的产生

如下一棵搜索树，它的最优解（符合要求且深度最小）在A2位置：

如果m、n都是大于 $10^6$ 的数，那么使用深度优先搜索的话会在A1的子树下遍历超时，广度优先搜索会在存A1~An时耗掉过多空间。

既然要求深度最小的可行解，那么不妨每次用深度优先搜索搜深度≤k的节点，把k逐次增加，这样既可以最早搜到A2（判断A2可行后就直接返回了），又不会耗过多空间。于是，迭代加深搜索应运而生。

概念

迭代加深（Iterative deepening）搜索，实质上就是限定下界的深度优先搜索。即首先允许深度优先搜索K层搜索树，若没有发现可行解，再将K+1后重复以上步骤搜索，直到搜索到可行解。

在迭代加深搜索的算法中，连续的深度优先搜索被引入，每一个深度约束逐次加1，直到搜索到目标为止。

迭代加深搜索算法就是仿广度优先搜索的深度优先搜索。既能满足深度优先搜索的线性存储要求，又能保证发现一个最小深度的目标结点。

从实际应用来看，迭代加深搜索的效果比较好，并不比广度优先搜索慢很多，但是空间复杂度却与深度优先搜索相同，比广度优先搜索小很多，在一些层次遍历的题目中，迭代加深不失为一种好方法！

——来自某个专业的PPT

拯救时间的函数

由于迭代加深搜索是反复地使用深搜，要是深搜不剪枝的话会导致时间爆炸，所以根据迭代加深限定下界的特点，出现了乐观估计函数。

乐观估计函数是在迭代加深中的剪枝，其作用就是判断当前的搜索节点有无可能在限定下界中找出解。比如其中一种是估计当前要找到最优解最少需要多少步，如果当前深度加上这个步数大于了限定的下界，那么只好强制退出——等再一次扩宽下界时再搜这里。

例题：《加法链》

时间限制： 2秒内存限制： 65536 KB

n的加法链是整数序列<a0，a1，a2，...，am>，具有以下四个属性：

a0 = 1
am = n
a0 <a1 <a2 <... <am-1 <am
对于每个k（1 <= k <= m），存在两个（不一定是不同的）整数i和j（0 <= i，j <= k-1），其中ak = ai + aj

你得到一个整数n。你的工作是为n构建一个最小长度的附加链。如果存在多个这样的序列，则任何一个都是可接受的。

例如，当要求输入5的加法链时，<1,2,3,5>和<1,2,4,5>都是有效的解决方案。

输入

输入将包含一个或多个测试用例。每个测试用例由一行包含一个整数n（1 <= n <= 100）组成。对于n，输入以零（0）的值终止。

输出

对于每个测试用例，打印一行包含所需的整数序列。将数字分隔一个空格。

样本输入

5
7
12
15
77
0

样本输出

1 2 4 5
1 2 4 6 7
1 2 4 8 12
1 2 4 5 10 15
1 2 4 8 9 17 34 68 77

通过贪心的策略得知: ∵ $a_{0} <a_{1} <a_{2} <... <a_{k-1}$ ， $a_{k}=a_{i}+a_{j}$ （0≤i,j<k）

∴ $(a_{k})_{max}=a_{k-1}+a_{k-1}=2*a_{k-1}$

所以让a每一项等于前一项的两倍，可以使数列增长最快。如果这样一个数列的第m项刚好大于等于n，那么可行解的长度一定大于等于m，否则不可能得到n。于是可以把下界从m开始加起，每次DFS搜一遍，最先搜出的一定最优。

此题的乐观估计函数也可以用这个数列来推断：从搜到的数出发，以增长最快的方式乘2一直推到下界位置，如果都小于n，那么此路继续搜下去一定无法在限界内得到n，就返回。

坑点：每次枚举前面的项时要倒着枚举。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,k,l,a[105];
bool f;
void iddfs(int x){//迭代加深if(x>l){//控制搜索深度if(a[x-1]==n)f=1;return;}for(int i=x-1;i>0;i--){for(int j=i;j>0;j--){if(a[i]+a[j]>a[x-1]&&a[i]+a[j]<=n&&!f){//枚举前面两个数相加a[x]=a[i]+a[j];int s=a[x];s<<=(l-x);if(s<n)continue;//乐观估计iddfs(x+1);}}}
}
int main()
{scanf("%d",&n);while(n){int s=1;l=1;f=0;a[1]=1;while(s<n)s<<=1,l++;for(;!f;l++)//扩宽下界iddfs(2);/由于a1必为1，所以从a2搜起for(int i=1;i<l;i++){if(i-1)putchar(' ');printf("%d",a[i]);}putchar('\n');scanf("%d",&n);}return 0;
}

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