数制介绍

数制转换

各进制转换为十进制

十进制转换为其他进制

十进制转二进制

十进制转其他进制

二进制与八进制之间的转换

二进制转八进制

八进制转二进制

二进制与十六进制之间的转换

二进制转十六进制

十六进制转二进制

八进制与十六进制之间的转换

二进制正负数及其表示

二进制算术运算

二进制正负数的表示法

二进制正负数的顶点浮点表示法

二进制数补码及其运算

二进制数三种表示法

反码补码运算性质

二进制数补码运算

数制介绍

数制：所谓数制（ Number Systems ），是指多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则。

数字系统中经常使用的数制有：

十进制(D: Decimal)
二进制(B: Binary)
八进制(O: Octal)
十六进制(H: Hexadecimal)等

由于目前在微型计算机系统中普遍采用8位、16位、32位二进制并行运算，而8位、16位、32位二进制数可以用2位、4位、8位十六进制数表示，因而用十六进制符号书写程序十分方便，成为当前的主流程序书写模式。

数制转换

各进制转换为十进制

十进制转换为其他进制

十进制转二进制

整数部分：除基取余，逆序排列。也就是将数除2，取基数再除，将最后得到的余数逆序排列，也就是从后往前，具体证明如下所示。

小数部分：乘基取整，顺序排列。具体说就是将小数部分乘2，取整数部分，从上往下读取，证明过程如下所示。

十进制转其他进制

将十进制转换为R进制的方法：整数部分采用基数 (R)除法，即除基（R）取余，逆序排列；小数部分采用基数（R）乘法，即乘基（R）取整，顺序排列，与十进制转二进制类似，就不做过多介绍。

二进制与八进制之间的转换

二进制转八进制

把二进制数从小数点开始分别向右和向左分成三位一组，每组便是一位八进制；若不能正常构成三位一组，则在二进制整数部分高位添零或在小数点低位添零来补足三位一组。

八进制转二进制

将各八进制数按位展成三位二进制数即可。

二进制与十六进制之间的转换

二进制转十六进制

把二进制数从小数点开始分别向右和向左分成四位一组，每组便是一位十六进制数；若不能正常构成四位一组，则在二进制整数部分高位添零或在小数点低位添零来补足四位一组。

十六进制转二进制

将各十六进制数按位展成四位二进制数即可。

八进制与十六进制之间的转换

八进制与十六进制之间的转换的话，一般是通过二进制作为中介，再进行转换。

二进制正负数及其表示

二进制算术运算

在数字电路中，1位二进制数码的0和1 不仅可以表示数量的大小，而且可以表示两种不同的逻辑状态：

当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间的数值运算称为算术运算；
当两个二进制数码表示不同的逻辑状态时，它们之间可以按照某种因果关系进行所谓的逻辑运算（后续章节讲解）。

二进制的运算特点：

二进制数的乘法运算可以通过若干次的“被乘数（或0）左移1位”和“被乘数（或0）与部分积相加” 这两种操作来完成；
二进制数的除法运算可以通过若干次的“除数右移1位”和“从被除数或余数中减去除数”这两种操作来完成。

二进制正负数的表示法

在数字电路和数字电子计算机中，二进制数的正、负号也用“0”和“1”表示。

一般，正号用“0”表示，负号用“1”表示

二进制正负数的顶点浮点表示法

任何数制的数N，均可以表示为：N=R^E×M。

定点表示法：即小数点的位置在数中是固定不变的。在定点运算的情况下，以最高位作为符号位，正数为0，负数为1，定点表示可分为整数定点和小数定点，和 C 语言里的整形与浮点型有点类似，可以理解为小数点位置不变。

浮点表示法：即小数点的位置可以变化，结合下面这张图来理解一下，第一个Ef()代表的是指数部分的正负符号，第二个E()代表的是指数的大小，第三个S()表示的是数的正负，第四个E（）代表的是数值。

二进制数补码及其运算

二进制数三种表示法

在数字电路中，二进制正负数的表示法有原码 (Sign-magnitude)、反码(One’s Complement)和补码 (Two’s Complement )三种表示法。

原码：二进制的原码与真值有直接的对应关系，即用二进制的最高位表示符号，且0表示正，1表示负，其余各位用以表示绝对值，并称数值位，构成带符号的二进制数，这种表示方法称为原码。

反码：也称为1的补码，其表示方法如下：

可以理解为负数除了符号位外，按位取反。

补码：也称为2的补码，其表示方法如下：

可以理解为负数的补码等于其反码加一。

最后，再对这三种表示法进行一个总结。

反码补码运算性质

二进制数补码运算

在数字电路中，用原码运算求两个正数M和N的差值M-N时，首先要对减数和被减数进行比较，然后由大数减去小数，最后决定差值的符号，完成这个运算，电路复杂，速度慢。所以常用补码来实现减法运算。

设A和B依次为被加数（或被减数）和加数（或减数），用补码实现加/减运算的步骤如下：

把A与B（减法时为-B）均表示成补码形式；

两个补码相加，且把符号位也看成二进制的最高位参与运算；

若和数的最高位有进位，将该进位舍弃

好了，关于数制的知识点就介绍到这，本身难度不大，但需要掌握。

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