错排问题

年会抽奖__牛客网

全部都不获奖的概率必定是由 n个人都拿错的情况种数 除 n个人拿出的所有排列情况数。
n个人拿出的所有排列情况数显然是n的阶乘。

假设a的名字没有被a拿到，其他n - 1个人都有可能拿到，即有n - 1种情况。假设b拿到了a的名字，那么对于b的名字有两种情况:

第一种是b的名字被a拿到了，也就是a、b互相拿到了对方的名字，那么对于其他n - 2个人互相拿错又是一个子问题f(n - 2).

第二种是b的名字没有被a拿到，则剩下的问题是子问题f(n - 1).

因此可得递推公式f(n) = (n - 1) * (f(n - 1) + f(n - 2)).

最终得出公式n人都不获奖的概率h(n) = (n - 1) * (f(n - 1) + f(n - 2)) / (n!)

#include <iostream>
#include <cstdio>int main()
{long long d[21] = { 0, 0, 1 }; // 错排数量，预留第一项为0，配合下文中输入的nlong long f[21] = { 1, 1, 2 }; // 阶乘for (int i = 3; i <= 20; i++){d[i] = (i - 1) * (d[i - 1] + d[i - 2]); //错排的递推公式f[i] = i * f[i - 1]; //阶乘的递推公式}int n;while (std::cin >> n){printf("%.2f%%\n", 100.0 * d[n] / f[n]); //用100.0来把结果处理成double，保留两位小数}return 0;
}

有理数运算

Rational Arithmetic (20)__牛客网

实现对两个有理数的基本运算，包括加、减、乘、除。

输入描述：

每个输入文件只包含一个测试用例，测试用例会给出一行数据，格式为 “a1/b1 a2/b2”分子分母的范围都在长整型的范围内，如果数字为负，则符号只会出现在分子的前面。分母一定是非零数。

输出描述：

针对每个测试用例，都输出四行，分别是这两个有理数的和、差、积和商，格式为 “ 数 1 操作符数 2 = 结果 ” 。注意，所有的有理数都将遵循一个简单形式 “k a/b” ，其中 k 是整数部分， a/b 是最简分数形式，如果该数为负数，则必须用括号包起来。如果除法中的除数为 0 ，则输出 “Inf” 。结果中所有的整数都在 long int 的范围内。

C++标准类写法：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long int64;class Rational
{
public:Rational(int64 n, int64 d){negetive = false;isZero = false;// 在输入时分母永远不可能为0，但是经过运算之后分母可能为0if (0 == d){isZero = true;return;}// 分子小于0，表示为负数if (n < 0){negetive = !negetive;}// 在输入时分母一定不会小于0， 但是经过计算之后分母也可能会小于0if (d < 0){negetive = !negetive;}// 如果分数是假分数，必须要将其化简为真分数 比如：5 / 3----> 1 2/3integer = n / d;numerator = n - integer * d;denominator = abs(d);// 如果不是最简的分数，还需要将其化简为最简的分数： 10 / 15 ----> 2 / 3// 只需给分子和分母分别除分子和分母最大公约数if (numerator < -1 || numerator > 1){int gcd = CalcGCD(abs(numerator), denominator);if (gcd){numerator /= gcd;denominator /= gcd;}}totalnumerator = integer * denominator + numerator;}Rational operator+(const Rational& r)const{int64 n = totalnumerator * r.denominator + r.totalnumerator * denominator;int64 d = denominator * r.denominator;return Rational(n, d);}Rational operator-(const Rational& r)const{int64 n = totalnumerator * r.denominator - r.totalnumerator * denominator;int64 d = denominator * r.denominator;return Rational(n, d);}Rational operator*(const Rational& r)const{int64 n = totalnumerator * r.totalnumerator;int64 d = denominator * r.denominator;return Rational(n, d);}Rational operator/(const Rational& r)const{int64 n = totalnumerator * r.denominator;int64 d = denominator * r.totalnumerator;return Rational(n, d);}
private:// 求最大公约数：辗转相除int64 CalcGCD(int64 a, int64 b){if (0 == b)return a;return CalcGCD(b, a % b);}friend ostream& operator<<(ostream& _cout, const Rational& r){if (r.isZero){_cout << "Inf";return _cout;}if (0 == r.integer && 0 == r.numerator){_cout << "0";return _cout;}// 如果是负数，需要用()括起来if (r.negetive){_cout << "(-";}// 输出有理数：整数 + 分数// 整数: 可能存在也可能不存在if (r.integer){_cout << abs(r.integer);// 如果分数部分存在，整数和分数之间有一个空格if (r.numerator){_cout << " ";}}// 分数: 可能存在也可能不存在if (r.numerator){_cout << abs(r.numerator) << "/" << r.denominator;}if (r.negetive){_cout << ")";}return _cout;}
private:int64 numerator; // 分子int64 denominator; // 分母int64 integer; // 整数部分bool negetive; // 负数bool isZero; // 分母是否为0int64 totalnumerator; // 参与运算的分子：原分子 + 整数部分
};int main()
{int64 n1, d1, n2, d2;while (scanf("%lld/%lld %lld/%lld", &n1, &d1, &n2, &d2) != EOF){Rational r1(n1, d1);Rational r2(n2, d2);cout << r1 << " + " << r2 << " = " << r1 + r2 << endl;cout << r1 << " - " << r2 << " = " << r1 - r2 << endl;cout << r1 << " * " << r2 << " = " << r1 * r2 << endl;cout << r1 << " / " << r2 << " = " << r1 / r2 << endl;}return 0;
}

C语言强行模拟：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;typedef long long ll;ll gcd(ll a,ll b)
{if(b==0) return a;return gcd(b,a%b);
}void totout(ll n,ll d)
{if(d==0){cout<<"Inf"<<endl;return;}ll mod=gcd(n,d);n/=mod;d/=mod;ll zheng=n/d;ll fz=n-zheng*d;ll fm=d;if(fz<0||fm<0||zheng<0) cout<<"(";if(n==0) cout<<0;else if(zheng&&fz==0) printf("%lld",zheng);else if (zheng) printf("%lld %lld/%lld",zheng,fz,abs(fm));else if(fm<0) printf("-%lld/%lld",fz,abs(fm));else printf("%lld/%lld",fz,fm);if(fz<0||fm<0||zheng<0) cout<<")";
}void add(ll n1,ll d1,ll n2,ll d2)
{ll n=n1*d2+n2*d1;ll d=d1*d2;totout(n,d);
}
void sub(ll n1,ll d1,ll n2,ll d2)
{ll n=n1*d2-n2*d1;ll d=d1*d2;totout(n,d);
}
void mul(ll n1,ll d1,ll n2,ll d2)
{ll n=n1*n2;ll d=d1*d2;totout(n,d);
}
void div(ll n1,ll d1,ll n2,ll d2)
{ll n=n1*d2;ll d=d1*n2;totout(n,d);
}int main()
{ll n1,d1,n2,d2;scanf("%lld/%lld %lld/%lld",&n1,&d1,&n2,&d2);totout(n1,d1);cout<<" + ";totout(n2,d2);cout<<" = ";add(n1,d1,n2,d2);cout<<endl;totout(n1,d1);cout<<" - ";totout(n2,d2);cout<<" = ";sub(n1,d1,n2,d2);cout<<endl;totout(n1,d1);cout<<" * ";totout(n2,d2);cout<<" = ";mul(n1,d1,n2,d2);cout<<endl;totout(n1,d1);cout<<" / ";totout(n2,d2);cout<<" = ";div(n1,d1,n2,d2);return 0;
}

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