线性代数之——克拉默法则、逆矩阵和体积

1. 克拉默法则

这部分我们通过代数方法来求解 Ax=bAx=bAx=b。

用 xxx 替换单位矩阵的第一列，然后再乘以 AAA，我们得到一个第一列为 bbb 的矩阵，而其余列则是从矩阵 AAA 中对应列直接拷贝过来的。

利用行列式的乘法法则，我们有

∣A∣(x1)=∣B1∣|A|(x_1)=|B_1|∣A∣(x1)=∣B1∣

如果我们想要求 x2x_2x2，那么将 xxx 放在单位矩阵的第二列即可。

∣A∣(x2)=∣B2∣|A|(x_2)=|B_2|∣A∣(x2)=∣B2∣

同理，如果 detA̸=0det A \not = 0detA̸=0，我们可以通过行列式来对 Ax=bAx=bAx=b 进行求解。

x1=detB1detAx2=detB2detA⋯xn=detBndetAx_1 = \frac{det \space B_1}{det \space A} \quad x_2 = \frac{det \space B_2}{det \space A} \quad \cdots \quad x_n = \frac{det \space B_n}{det \space A}x1=det Adet B1x2=det Adet B2⋯xn=det Adet Bn

其中 BjB_jBj 就是将矩阵 AAA 的第 jjj 列替换为向量 bbb。

2. 逆矩阵

对于 n=2n=2n=2，我们通过求解 AA−1=IAA^{-1}=IAA−1=I 来找到 A−1A^{-1}A−1 的每一列。

为了解出 xxx，我们需要五个行列式。

后面的四个行列式分别为 d，−c，−b，ad，-c，-b，ad，−c，−b，a，它们分别是矩阵的代数余子式 C11，C12，C21，C22C_{11}，C_{12}，C_{21}，C_{22}C11，C12，C21，C22。

对任意大小的矩阵都满足，当右边是单位矩阵的一列时，克拉默法则中矩阵 BjB_jBj 的行列式是一个代数余子式。

第一个行列式 ∣B1∣|B_1|∣B1∣ 是代数余子式 C11C_{11}C11，第二个行列式 ∣B2∣|B_2|∣B2∣ 是代数余子式 C12C_{12}C12，但是它位于逆矩阵的第一列，也就是 (2，1) 的位置。因此有

我们可以进行一个简单的验证，两边同时乘以 AAA。

左边第一行乘以第一列可得

a11C11+a12C12+a13C13=detAa_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} = det \space Aa11C11+a12C12+a13C13=det A

第一行乘以第二列可得

a11C21+a12C22+a13C23=0a_{11}C_{21}+a_{12}C_{22}+a_{13}C_{23} = 0a11C21+a12C22+a13C23=0

这可以看作是我们将矩阵 AAA 的第一行复制到第二行得到另外一个矩阵 A∗A^*A∗，矩阵 A∗A^*A∗ 有两行元素相同，其行列式为零。另外，我们注意到矩阵 AAA 和 A∗A^*A∗ 的代数余子式 C21，C22，C23C_{21}，C_{22}，C_{23}C21，C22，C23 是相同的，因此上式就是矩阵 A∗A^*A∗ 的行列式，其值为零。

3. 体积

任何人都知道一个长方形的面积——底乘以高，而一个三角形的面积为底乘以高的一半。但是，如果我们只知道三角形三个顶点的坐标为 (x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，(x_3, y_3)(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，这时候面积为多少呢？

三角形的面积就是 3×33×33×3 行列式的一半，如果其中一个坐标为原点的话，那么行列式就只有 2×22×22×2 了。

由于平行四边形的面积是三角形面积的两倍，因此从原点开始的平行四边形是一个 2×22×22×2 的行列式。

如果我们能证明平行四边形的面积和行列式具有一样的性质，那么面积就等于行列式。

当 A=IA = IA=I 时，平行四边形就变成了单位正方形，面积为 detI=1det I = 1detI=1。
当两行进行交换的时候，行列式改变符号，但平行四边形还是原来的平行四边形，其面积的绝对值没有改变。
当某一行乘以 ttt 后，面积就变为原来的 ttt 倍。当其中一行不变，而另一行加上 (x1′,y1′)(x_1', y_1')(x1′,y1′) 后，新的平行四边形的面积就为两个平行四边形面积的和。

注意右边的图形是一个平面图形，两个三角形的面积是一样的。我画了一个草图，可能会更直观一点。

S⋄OCEB=S⋄OADB+S⋄ACED因为S△BED=S△OCAS_{\diamond OCEB} = S_{\diamond OADB}+S_{\diamond ACED} \quad 因为 \quad S_{\triangle BED}=S_{\triangle OCA} S⋄OCEB=S⋄OADB+S⋄ACED因为S△BED=S△OCA

这个证明虽然不走寻常路，但是它可以很容易扩展到 nnn 维中去，它们都满足行列式的三个基本性质。在三维中，体积等于行列式的绝对值。

4. 叉积

两个向量的叉积定义为：

叉积得到一个新的向量，这个向量垂直于 uuu 和 vvv，而且有 v×u=−u×vv×u = -u×vv×u=−u×v。

性质 1： v×uv×uv×u 交换了第二行和第三行，因此有v×u=−u×vv×u = -u×vv×u=−u×v。
性质 2： v×uv×uv×u 垂直于 uuu 和 vvv。

行列式的三行变成了 uuu 、uuu 和 vvv，因此其值为零。

性质 3： 向量和自己的叉积是 0。当 uuu 和 vvv 平行的时候，它们的叉积也为 0。点积涉及余弦，叉积涉及正弦。

**以 uuu 和 vvv 为边的平行四边形的面积等于它们叉积的模，**其实也就是底乘以高。

叉积遵守右手定则，叉积后向量的方向为右手大拇指指向的方向。

(u×v)⋅w(u×v)\cdot w(u×v)⋅w 是一个数字，代表边为 uuu 、vvv 和 www 的立方体的体积。

如果这个积为零，说明 uuu 、vvv 和 www 位于一个平面内，体积为零，矩阵是不可逆的，行列式为零。

5. 习题

如果 AAA 是奇异矩阵，那么有

ACT=(detA)I→ACT=0AC^T=(det A)I \to AC^T = 0ACT=(detA)I→ACT=0

因此， CTC^TCT 的每一列都位于矩阵 AAA 的零空间，我们可以通过求解矩阵的代数余子式来求解 Ax=0Ax=0Ax=0。

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