一中OJ #3509 七的倍数 [USACO Jan16,洛谷P3131] | 同余前缀和

一中OJ | #3509 七的倍数 [USACO Jan16 Silver , Subsequences Summing to Sevens]

时限 1000MS/Case 内存 128MB/Case

题目描述

Farmer John的N头奶牛排成一排，每头奶牛都有FJ制定的奶牛编号。FJ想要拍一张奶牛的照片，他希望该照片满足下列两个要求：
1.照片中奶牛的数量尽可能多；
2.照片中奶牛的编号之和为7的倍数；
请你帮助FJ计算，满足条件的照片中，奶牛的数量最多是多少？

输入格式

第一行，一个整数N表示奶牛的数量。
接下来N行，每行一个整数，依次给出了每头奶牛的编号，编号的范围[0…1,000,000]。

输出格式

一行，一个整数，表示奶牛最多的照片中奶牛的数量，如果无解，输出0。

样例输入

7
3
5
1
6
2
14
10

样例输出

数据范围

1≤N≤50,000

样例解释

区间[2,6]构成一张照片，其中奶牛编号5 + 1 + 6 + 2 + 14 = 28，28 mod 7 = 0。

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题目分析

一般的前缀和找最大值，时间复杂度是O(n^2)，无法通过此题

但是题目要求一段区间各编号之和mod 7 = 0的最长区间长度

先算出前缀和Sum[]，假设区间[i,j]中各编号之和mod 7 = 0，那么Sum[i-1] mod 7一定等于Sum[j] mod 7

不难证明，因为A[i]+A[i+1]+...+A[j] mod 7 = 0，Sum[j] = Sum[i-1]+A[i]+A[i+1]+...+A[j]

那么由模运算规则 "(a+b) mod c=(a mod c + b mod c) mod c" 可得Sum[j] mod 7 = Sum[i-1] mod 7+(A[i]+A[i+1]+...+A[j]) mod 7

又因为(A[i]+A[i+1]+...+A[j]) mod 7 = 0，那么Sum[j] mod 7 = Sum[i-1] mod 7 + 0 = Sum[i-1] mod 7，得证。

接下来只需统计最早出现的 mod 7 的余数位置与最晚出现的 mod 7 的余数位置，然后相减找最大差值即可[此处不需要R-L+1，原因是由证明过程可得最长区间[i,j]所对应的L应该等于i-1而不是i，j-(i-1)=j-i+1，那么就不需要再加了]

----------------------------------------------------------

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <map>
#define hashsize 1000003
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
int n,t,ans;
int sum[50005],lpos[7]={inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf},rpos[7];
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&t);sum[i]=(sum[i-1]+t)%7;lpos[sum[i]]=min(lpos[sum[i]],i);rpos[sum[i]]=i;}for(int i=0;i<7;i++) ans=max(ans,rpos[i]-lpos[i]);printf("%d",ans);return 0;
}

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