向量积中的内积、外积及其表现形式
向量积的形式和表示
- 一、内积(向量点乘)
- 1.定义
- 2.点乘
- 3.点乘的几何意义
- 4.基本性质
- 二、外积(叉乘、向量积)
- 1.定义
- 2.叉乘公式
- 3.外积的几何意义
- 4.基本性质
今天在学习SVM算法的时候,涉及到了向量的运算,所以我在这里进行了整理。
首先我先对向量进行一下介绍:
向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;
一、内积(向量点乘)
1.定义
向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。
具体点说,两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),它是数量而不是向量。
特别地,0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b正交的充要条件是a·b = 0。
2.点乘
比如说,给定向量a和向量b:
a和b的点积公式为:
可以是必须要求一维向量a和向量b的行列数相同才可以。
3.点乘的几何意义
点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:
我们用一个图来具体看一下:
根据数学上的知识,我们可以知道: c=a-b
我们来具体推导一下。
根据数学中的三角形余弦定理可以得出:
然后上面又推出c=a-b,将c带入上面公式可得:
化简之后可以得出:
根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:
a·b>0 方向基本相同,夹角在0°到90°之间a·b=0 正交,相互垂直 a·b<0 方向基本相反,夹角在90°到180°之间
4.基本性质
- a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)
- a·b = b·a.
- (λa + μb)·c = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)
- cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
- |a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立.
余弦定理:在△ABC中,成立 c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC,如下图所示:
二、外积(叉乘、向量积)
1.定义
两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
具体的来说,向量a与b的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于a与b。并且,(a,b,a×b)构成右手系。
特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量a,a×a=0。
2.叉乘公式
给定两个向量a和b:
a和b的乘积公式为:
其中:
则根据i,j,k的关系可以得出:
3.外积的几何意义
在二维空间上,a与b的外积在数值上等于以a,b为邻边的平行四边形的面积。
正弦定理:a/sinA = b/sinB = c/sinC,如下图所示:
在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。
在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:
4.基本性质
- a × b = -b × a. (反衬性)
- (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)
本文参考自:https://blog.csdn.net/xuxinrk/article/details/80395746
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