折射率的经典电磁学理论解释

光的吸收与色散等特征是在干涉、衍射、直线传播之后的又一重要光学现象。而这一切都起源于折射率这个熟悉又陌生的概念。对于折射率的起源，在这里，我们用经典的电磁学理论进行解释。
首先我们要明确的是，利用牛顿第二定律我们可以有电偶极子的受迫振动振动动力学方程为：
md2rdt2=−gdrdt−kr+qE(t)m\frac{d^2r}{dt^2}=-g\frac{dr}{dt}-kr+qE(t) mdt2d2r=−gdtdr−kr+qE(t)
式中电场的振动可以描述为：E(t)=E0eiωtE(t)=E_0e^{i\omega t}E(t)=E0eiωt。这里为了求解，将电偶极子的振动模型设为r(t)=Aeiωtr(t)=Ae^{i\omega t}r(t)=Aeiωt并带入动力学方程求得A的表达式。故计算得：
r(t)=qm(ω02−ω2+iγω)E0eiωtr(t)=\frac q{m(\omega^2_0-\omega^2+i\gamma\omega)}E_0e^{i\omega t} r(t)=m(ω02−ω2+iγω)qE0eiωt
这里有阻尼系数γ=gm\gamma=\frac gmγ=mg
由于折射率与相对介电常数εr\varepsilon_rεr有关，故联想到极化强度与电场的关系：P=ε0(εr−1)EP=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)EP=ε0(εr−1)E；而由极化强度的定义：极化强度等于电偶极子的偶极矩的矢量和。则N个电偶极子得偶极矩之和，即极化强度又可以表示为：P=NqrP=NqrP=Nqr
那么联立，并带入r（t）有：
n2≈εr=1+Nq2mε0(ω02−ω2+iγω)n^2 \approx \varepsilon_r=1+\frac{Nq^2}{m\varepsilon_0(\omega^2_0-\omega^2+i\gamma\omega)} n2≈εr=1+mε0(ω02−ω2+iγω)Nq2
发现这里的折射率是复数形式，那么简化形式有：
n=1+12α(ω02−ω2)2(ω02−ω2)2+(γm)2−i2αγω(ω02−ω2)2+(γm)2n=1+\frac12\frac{\alpha(\omega^2_0-\omega^2)^2}{(\omega^2_0-\omega^2)^2+(\gamma m)^2}-\frac i2\frac{\alpha\gamma\omega}{(\omega^2_0-\omega^2)^2+(\gamma m)^2} n=1+21(ω02−ω2)2+(γm)2α(ω02−ω2)2−2i(ω02−ω2)2+(γm)2αγω
where α=Nq2mε0\alpha = \frac{Nq^2}{m\varepsilon_0}α=mε0Nq2
定义有：折射率的特殊形式n=nR−inIn = n_R-in_In=nR−inI，其中 nI>0n_I>0nI>0。
那么这个复数形式的折射率有何不同之处？这还要从平面波的表达式开始说；有平面波的表达式为：
E=E0exp[iω(t−x/v)]=E0exp[iω(t−nx/c)]E = E_0exp[i\omega(t-x/v)]=E_0exp[i\omega(t-nx/c)]E=E0exp[iω(t−x/v)]=E0exp[iω(t−nx/c)]；其中 ω=kv,n=c/v\omega = kv,n=c/vω=kv,n=c/v
那么当n作用于平面波时，作用结果为：
E=E0exp(−ωnIx/c)exp[iω(t−nRx/v)]E = E_0exp(-\omega n_Ix/c)exp[i\omega(t-n_Rx/v)] E=E0exp(−ωnIx/c)exp[iω(t−nRx/v)]
可以看到的是，这里不仅造成了相位的变化，并且对于振幅产生指数（线性）的衰减。并且，在特定情况下还有非线性作用情形的存在。这也就是非线性光学的开始。

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