IEEE Signal Processing Magazine 是信号处理领域一本著名的杂志。它偶尔会出一个名叫 Tips & Tricks 的专栏。这个专栏的文章没有高深的理论知识，简洁实用，适合非信号处理专业的人员搬用。

在第 33 卷，第 3 期中，有一篇讲如何设计陷波滤波器的文章（ Narrowband Notch Filter Using Feedback Structure ），特意学习一下，并记录于此。

1、传统陷波滤波器

一个简单的陷波滤波器的表达式为

C(z)=1−2cos(ω∗)z−1+z−21−2ρcos(ω∗)z−1+ρ2z−2

{C}\left( z \right) = \frac{{1 - 2\cos \left( {{\omega ^ * }} \right){z^{ - 1}} + {z^{ - 2}}}}{{1 - 2\rho \cos \left( {{\omega ^ * }} \right){z^{ - 1}} + {\rho ^2}{z^{ - 2}}}}

其中， ω∗ \omega ^ * 是陷波滤波器的中心频率。

为了确保系统稳定，式中 ρ \rho 必须满足：

0≤ρ<1

0 \leq \rho

为了验证不同的 ρ \rho 值的影响，给出如下代码：

close all;
clc;clear all;
omega_ref = 0.4*pi;rho_1 = 0.7;
num_Cz_1 = [1, -2*cos(omega_ref), 1];
den_Cz_1 = [1, -2*rho_1*cos(omega_ref),rho_1^2];
[h_Cz_1,w_Cz_1] = freqz(num_Cz_1,den_Cz_1);%频率响应rho_2 = 0.8;
num_Cz_2 = [1, -2*cos(omega_ref), 1];
den_Cz_2 = [1, -2*rho_2*cos(omega_ref),rho_2^2];
[h_Cz_2,w_Cz_2] = freqz(num_Cz_2,den_Cz_2);%频率响应rho_3 = 0.9;
num_Cz_3 = [1, -2*cos(omega_ref), 1];
den_Cz_3 = [1, -2*rho_3*cos(omega_ref),rho_3^2];
[h_Cz_3,w_Cz_3] = freqz(num_Cz_3,den_Cz_3);%频率响应figure(1);
plot(w_Cz_1,abs(h_Cz_1),'r',w_Cz_2,abs(h_Cz_2),'b',w_Cz_3,abs(h_Cz_3),'k');
xlabel('频率');ylabel('幅度');
legend('rho=0.7','rho=0.8','rho=0.9','Location','SouthEast');
title('陷波滤波器的幅频特性曲线（未加反馈环节）');grid;

绘制的波形如下图所示。从图中可以看到， ρ \rho 值越大，陷波器的阻带越窄。但是，这种陷波滤波器存在阻带不够窄，且通带增益不为 1 的情况。阻带不够窄，说明在去除某些频率分量的同时，也可能会滤掉一些有用的信号。通带增益不为 1 ，说明会影响通带内的频率分量的幅值。

图 1 ：系数 ρ \rho 对陷波滤波器幅频特性的影响

2、基于反馈结构的陷波滤波器

该陷波器在传统的陷波滤波器上加入了一个反馈环节，其结构如下图所示。

图 2 ：反馈型陷波滤波器的结构

该结构的表达式为

HN(z)=(1+α)C(z)1+αC(z)

{H_N}\left( z \right) = \frac{{\left( {1 + \alpha } \right)C\left( z \right)}}{{1 + \alpha C\left( z \right)}}

其中， α \alpha 为反馈系数。当 α=0 \alpha =0 时，该滤波器退化为传统的陷波滤波器。下面的代码分析了系数 α \alpha 对陷波滤波器性能的影响。

Cz = filt(num_Cz_3,den_Cz_3); %生成离散传递函数alpha_1 = 5;
HNz_1 = (1+alpha_1)*Cz/(1+alpha_1*Cz);
[h_HNz_1,w_HNz_1] = freqz(HNz_1.num{1}, HNz_1.den{1});%频率响应alpha_2 = 20;
HNz_2 = (1+alpha_2)*Cz/(1+alpha_2*Cz);
[h_HNz_2,w_HNz_2] = freqz(HNz_2.num{1}, HNz_2.den{1});%频率响应figure(2);
plot(w_Cz_1,abs(h_Cz_1),'r',w_HNz_1,abs(h_HNz_1),'b',w_HNz_2,abs(h_HNz_2),'k');
xlabel('频率');ylabel('幅度');
legend('Cz (rho=0.9)','HNz (alpha=5)','HNz (alpha=20)','Location','SouthEast');
title('陷波滤波器的幅频特性曲线');grid;

上述代码得到的结果如下图。增大 α \alpha 使陷波滤波器的阻带变窄，且其通带的增益也越来越接近 1 。同时，该结构能够保证系统的稳定。

图 3：反馈系数对滤波器性能的影响

图 4：上图的局部放大图

3、结论

传统的陷波滤波器存在两个缺点。一是滤波器的阻带不够窄，二是通带的增益不等于 1 。加入反馈环节，可以同时满足这两个要求。从 MATLAB 代码可以看到，这种陷波滤波器很容易数字实现。

申明：本博文来自 xinhuasz 的博客，地址为 http://blog.csdn.net/xinhuasz。

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