塞瓦定理,逆定理,及其引伸的证明

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设P为△ABC三边所在直线外一点,AP,BP,CP分别交对边或其延长线于D,E,F,则BD/DC*CE/AE*AF/BF=1.
证明:过B作AC的平行线分别交AD,CF或其延长线于G,H.则由△BPH相似于△EPC得CE/BH=EP/BP,由△BPG相似于△EPA得AE/BG=EP/BP,故有CE/AE=BH/BG,由△BDG相似于△CDA得BD/CD=BG/AC,由△BFH相似于△AFC得AF/BF=AC/BH,三个相关式子相乘便可得到结论.

逆定理:在△ABC三边所在直线BC,CA,AB上各取一点D,E,F(D,E,F都在三边上,或只有其中之一在边上),若BD/CD*CE/AE*AF/BF=1,则AD,BE,CF三线共点或它们互相平行.
证明:先证共点,设AD,BE交于点P,连结CP,使它或其延长线交AB或AB 的延长线于F',按照证明梅内劳斯逆定理的方法,我们可证明F'和F重合,共点证毕.再证平行:我们已经证明了三线如果有交点,只能交于一点,故考虑它们平行,只要证明当它们平行时能够符合题设就行了,这个由三角形相似不难证明,证略,故逆定理证毕.

定理的引伸:圆内接六边形ABCDEF中,AD,BE,CF三线共点的充要条件是AB/BC*CD/DE*EF/FA=1.
证明:先证充分条件,由圆内相交弦引起的三角形相似得:AB/DE=AP/PE,CD/AF=PC/AP,EF/BC=PE/PC,三式相乘便可得到结论.再证必要条件,设AD,BE交于点P,连结CP并延长交圆于F',则EF'/AF'=EF/AF,又角AFE=角AF'E,故△AFE相似于△AF'E,加上公共边AE,故它们全等,即AF=AF',EF=EF',故F和F'重合.证毕.

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