特定偏好的效用函数—

说明：做单调变化(monotonic transformation)是合理的，因为效用的数值大小是没有意义的，有意义的是相对排序，体现的是序数性质而不是基数性质见p51~p52

中文第11版教材上关于CES效用函数的形式是如下的表述：
U(x,y)={xδδ+yδδ(δ≤1,δ≠0)lnx+lnyδ=0U(x,y) = \begin{cases} \frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta}& (\delta ≤1,\delta≠0)\\ lnx+lny& \delta=0 \end{cases} U(x,y)={δxδ+δyδlnx+lny(δ≤1,δ=0)δ=0

这个负号虽然使得效用变成了一个负数，但是这个式子满足了边际效用为正且递减，且效用随着x和y的增长是增长的（从-∞∞∞到0）。由此看出分母中包含δ\deltaδ是必要的，因为这里控制住了前面所说的符号（即保证了这个式子满足了边际效用为正且递减，且效用随着x和y的增长是增长的（从-∞∞∞到0））。

有朋友有这样的疑惑，为什么要单独拿分母的δ\deltaδ来说事，说他到底去不去掉的问题，究其原因在于这里式子同时乘以δ\deltaδ也是没问题的，因为这是一个单调变化，保证了序数性质。

来源：Walter Nicholson /Christopher M. Snyder 《Microeconomic Theory Basic Principles and Extensions 》(2016, Cengage Learning) - libgen.lc

在尼克尔森的教材中并没有讲清楚为什么这个效用函数叫做不变替代弹性效用函数，我们拆开来看，首先看替代弹性表示什么：

图片来源：简书
（侵删，谢谢）

那有朋友要问了这里的替代弹性指的是什么？书中说σ=11−δ\sigma=\frac{1}{1-\delta}σ=1−δ1即为替代弹性。

显然书中在这里并没有讲清楚，下面我们来做如下的推导：
替代弹性的计算如下：
σ=d(Y/X)d(MRSxy)∗MRSxyY/X\sigma = \frac{d(Y/X)}{d(MRS_{xy})}*\frac{MRS_{xy}}{Y/X} σ=d(MRSxy)d(Y/X)∗Y/XMRSxy
其中：
MRSxy=MUXMUY=(XY)δ−1MRS_{xy}=\frac{MU_X}{MU_Y}=(\frac{X}{Y})^{\delta-1} MRSxy=MUYMUX=(YX)δ−1
将其代入有：
σ=d(Y/X)d(XY)δ−1∗(XY)δ−1Y/X=−YX2dX(δ−1)Xδ−2(1Y)δ−1dX∗(XY)δ−1Y/X=11−δ\sigma = \frac{d(Y/X)}{d(\frac{X}{Y})^{\delta-1}}*\frac{(\frac{X}{Y})^{\delta-1}}{Y/X} = \frac{-\frac{Y}{X^2}dX}{(\delta-1)X^{\delta-2}(\frac{1}{Y})^{\delta-1}dX}*\frac{(\frac{X}{Y})^{\delta-1}}{Y/X}=\frac{1}{1-\delta} σ=d(YX)δ−1d(Y/X)∗Y/X(YX)δ−1=(δ−1)Xδ−2(Y1)δ−1dX−X2YdX∗Y/X(YX)δ−1=1−δ1

这是教辅上给的一个证明过程，不过个人认为这个证明过程中把Y看成常数不尽合理，应该X和Y都看成变量去做，最后的结果是一样的（可能是碰巧一样）d(YX)d(\frac{Y}{X})d(XY) −YX2dX\frac{-Y}{X^2}dXX2−YdX XdY−YdXX2\frac{XdY-YdX}{X^2}X2XdY−YdX还是不一样的

上述证明我们看出来σ=11−δ\sigma = \frac{1}{1-\delta}σ=1−δ1，接着谈谈为什么叫不变，很显然，只要δ\deltaδ定了，σ\sigmaσ就定了，就不变了。那么为什么引入替代弹性的概念呢？
因为替代弹性的大小可以判断两种商品之间的替代性，从而可以根据替代弹性的大小数值来判断该函数是属于哪一种，这样就更理解不变替代弹性效用函数和特殊的效用函数之间的相互关系。

δ\deltaδ	σ\sigmaσ	效用函数
1	∞∞∞	完全替代效用函数
0	1	柯布道格拉斯函数
∞∞∞	0	完全互补效用函数

eg.常替代效用函数u(x1,x2)=(α1x1ρ+α2x2ρ)1ρu(x_1,x_2)=(\alpha_1x_1^\rho+\alpha_2x_2^\rho)^{\frac{1}{\rho}}u(x1,x2)=(α1x1ρ+α2x2ρ)ρ1，请证明：
(1)当ρ=1\rho=1ρ=1，该效用函数为线性；
(2)当ρ→0\rho\rightarrow 0ρ→0时，该效用函数趋近于u(x)=x1α1x2α2(α1+α2)=1u(x)=x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}(\alpha_1+\alpha_2)=1u(x)=x1α1x2α2(α1+α2)=1;
(3)当ρ→−∞\rho\rightarrow -∞ρ→−∞时，该效用函数趋近于u(x)=min(x1,x2)u(x)=min(x_1,x_2)u(x)=min(x1,x2)
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