大家好，我是忻菁，来自杭州市崇文实验学校，是朱乐平名师工作站“一课研究”团队第十七组组员，很高兴能在“一课研究”微信平台上与您相遇！

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本期内容有哪些

听一听：基于典型错题的课例研究与教学改进

读一读：“最小公倍数”教学后学生知识技能情况分析

记一记：“最小公倍数”的本体性知识

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“最小公倍数”教学后学生知识技能情况分析

在学生学习“最小公倍数”这一内容前，我们从学生对“最小公倍数”概念与意义的理解程度、学生了解知识点的途径与方法，以及求解几个数的最小公倍数与解决实际问题的应用能力这三个方面，对他们的知识技能方面的情况进行了分析。在学生学习了“最小公倍数”之后，我们有必要了解他们对所学知识的掌握情况，这是对学生学习情况的评价，也是对教师教学情况的评价，有利于教师对教学计划与内容及时修正或调整，从而提高课堂教学质量。

了解学生的知识技能情况有哪些内容？

设计后测卷的内容，主要考虑以下三方面：

一是遵循课标学习要求。

《课标(2011版)》第二学段(4~6年级)“数与代数”课程内容中指出，学生要“了解公倍数和最小公倍数”、“能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数”。因此，后测卷内容需要反映两方面的内容：

①学生对“公倍数”、“最小公倍数”概念的掌握情况。

测试结果要能反映出学生对“公倍数”、“最小公倍数”知识的理解，体会数学知识之间的关联。比如“公倍数”与“最小公倍数”之间的关系，“公倍数”是有限的吗？

②学生对“最小公倍数”相关概念在解决实际问题中的应用情况。

测试结果要能反映出学生是否掌握找“最小公倍数”与求解“最小公倍数”的方法，理解技能操作程序和步骤的道理，并在问题解决中正确运用它。比如学生能否正确求出“互素”、“倍数”与“一般”三种关系数的最小公倍数，以及三个数求最小公倍数，能否在遇到实际问题时知道可以用“最小公倍数”解决的方法，并能正确解答。

二是结合课堂教学目标。

同样的教学内容，不同教师会由于对知识技能的定位不同、教学理念风格的不同，教学目标也随之不同。比如，有的课重视分层学习，有的课体现自主探究，有的课强调概念内涵理解，有的课注重实际问题解决，等等。设计后测卷需根据课的教学目标而设计。

三是对比前测卷结果。

如果说，前测的目的是为了促进教师对学生学情的了解，更好地针对不同学生设计有差异的教学。那么，后测的目的就是检测不同层次学生在学完这节课后是否都有所提升，评价教师教学成效以利于修正与完善。

了解知识技能情况通过哪些途径展开？

对学生知识技能情况的教学后测仍然采用调查问卷的形式去了解。以下根据现行浙教版教学设计的后测卷，后测对象与前测保持一致，为杭州市某小学两个五年级平行班学生(共60人，回收有效问卷57份)。

学生的知识技能后测结果如何？

对教学后学生知识技能后测情况(见表1)进行分析，我们得出以下结论：

表1 教学后知识技能结果统计表

①多数学生不仅理解了最小公倍数的概念，还能用较为精确的语言表述出来。

有86%的学生能表述出“公有倍数中最小的一个”人中，其中有38.6%的学生还知道最小公倍数不仅仅只是两个数之间的，还可以是三个或多个数的最小公倍数。

②多数学生不仅能正确计算出两个数的最小公倍数，还能运用求最小公倍数的方法来解决简单的应用问题。

我们在教学前测与后测试卷中都设计了“求最小公倍数”三种数量关系的计算问题，即互素关系、倍数关系和一般关系。与前测情况中倍数关系与一般关系计算不够理想相比(见表2)，后测结果除1人因数字抄错，三题正确率达98.2%。且从第3、4两题的测试结果中，分别有77.2%和89.7%的学生正确。这说明，学生已经完全掌握了求最小公倍数的计算方法，并能从文字表述提取分析问题，运用求最小公倍数的方法解决实际问题。我们如果能在教学前切实了解学生的学情，课堂中有针对性的教学突破难点，自然课堂教学质量得以提升，学生学习也变得更高效。

表2 教学前后对照统计表

③虽然学生掌握了两个数的最小公倍数的计算方法，但对于三个数的最小公倍数计算仍有部分学生有困难。

后测试卷的第2题第4小题[24,12,30]有15.8%的学生出现错误，其中有5人是由于数字抄错或者计算错误引起的(见图1)。有2人没有掌握三个数求最小公倍数的基本方法，比如短除法的商没有做到两两互质(见图2)，或者没有先将3个数的公因数找出来，而直接先找2个数的公因数(见图3)。

图1

图2

图3

后测卷第4题求“5人一条船，6人一条船，8人一条船都刚好坐满没有剩余，求至少有多少人？”有3人认为[5,6,8]=240，即5×6×8=240(见图4)，还有1人只用独有素因数的乘积求最小公倍数，漏乘公因数(见图5)。

图4

图5

这说明，学生能理解题意的基础上，发现“每条船的人数”与“总人数”之间的倍数关系，求“总人数”就是找5,6,8三个数的最小公倍数。

可见，我们在关注计算方法的同时，也要重视培养学生良好的读题与解题习惯。在重视学生计算的技能训练的同时，也要关注对数学概念与计算方法意义的理解与渗透。

④虽然学生已具备用最小公倍数解决简单的应用问题的能力，但在寻找最小公倍数与实际问题的关系时仍有困难。

后测试卷的第3题求“至少用长8厘米，宽6厘米的长方形拼一个正方形需要多少个？”有19.3%的学生认为[6,8]=24就是长方形的个数，而无法体会到题中所求的8和6的最小公倍数实际上就是这个正方形的边长(见图6)。第5题“一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，这个数最小是几？”错误率是57.9%%，其中有26人不会做，有3人把[2,3,4,5,6]=60当做这个数来回答(见图7)。

图6

图7

这说明，少部分学生只知其法却不知其义，还无法明确找到最小公倍数与实际问题之间的关系。我们不妨用转化的思想帮助学生理解此类题目与最小公倍数之间的关系。比如第3题可以借助图形转化将文字题变成直观图示，便于学生理解正方形边长与长方形个数之间的关系，明白长方形中长与宽的最小公倍数就是正方形的边长，再根据正方形边长分别除以长方形的长、宽的乘积得出长方形铺的个数。同样，第5题也可以运用整除的概念，将最小公倍数的实际问题转化为“找到一个与最小公公倍数有联系的数”上。我们不难发现，只要将“被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5”理解为“被2除少1，被3除少1，被4除少1，被5除少1，被6除少1”，即“这个数就是比2,3,4,5,6的最小公倍数少1的数”。

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记一记

最小公倍数是数论中的一个概念。两个整数公有的倍数称为它们的公倍数，其中最小的一个正整数称为它们两个的最小公倍数。同样地，若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数。n个整数的最小公倍数一般记作：【a1,a2,…,an】，或者参照英文记法记作lcm(a1,a2,…,an)，其中lcm是英语中“最小公倍数”一词(least common multiple)的首字母缩写。

例如，十天干和十二地支的混合称为一个阴历年，干支循环回归同一名称的所需时间，就是12和10的最小公倍数，即是60──一个“甲子”。

对分数进行加减运算时，要求两数的分母相同才能计算，故需要通分；标准的计算步骤是将两个分数的分母通分成它们的最小公倍数，然后将通分后的分子相加。

两个整数的最小公倍数与最大公约数之间有如下的关系：

你若盛开 蝴蝶自来

审核人：曾焕辉   吴梦玲