时间：2.5h(实际)(不行太闲了)
期望得分：...
实际得分：...

比赛链接

总结

倍增！之前还记得怎么又忘了。。
如果可以任意互换位置 具体什么样我们是不关心的。

A 花园(思路)

题目链接

只保留两条边，会剩下一个类似基环内向树的图。
每个点到达P的情况有三种可能：1.永远到不了P；2.只会到1次P；3.在某时刻t到达P，然后每隔时间l到达一次P。2是P在环外，3是P在环上。
对每个点分走最长边和次长边DFS两次，记录它到P的时间dis和到P时朝哪(下一次走最长边还是次长边dir)。可以在O(n)时间内预处理。
然后枚举每个点可以得到某一时刻朝哪到达P的有多少点cnt[t][0/1]，这个用每个点走最长边时算的dis和dir更新。
然后再用P相邻两点的dis,dir得到从P走最长边/次长边多长时间f[0/1]会回到P，及回到P时朝哪g[0/1]。
环长最长应该不超过2n，一个点到P开始循环的时间也不超过2n，所以预处理4n时间内的 某一时刻朝哪到达P的有多少点。可以通过类似DP用f[0/1],g[0/1]转移。
其实只求P所在的那个环或是能到P的点就可以了，建个反图，把每个点的两条出边改成两条入边。
DFS的时候记一下之前走的是最长边还是次长边(原图中x下一步要走最长边还是次长边)，如果是次长边则x只能是从最长边来的(还得会走这条边，即连接点要有这条边)；否则如果dgr[x]>1则可以任意从非x的最长边的边来。
当之前走的是最长边时用此时到P的距离更新cnt[t][0/1]。0/1是确定的，只从P DFS我们可以确定到达P时是朝哪的（下次走最长边还是次长边）。
记环长f[0/1]为len，输出的时候时刻应是。。k%len然后一直加len直到>=2n？。。
但是可以直接 \(k%len+[2n/len]*len\)。。我知道后面是\(n<x\leq 2n\)的，但是如果有个点最初需要\(>[2n/len]*len\)的时间到P，K很大的话不是会算不上这个点吗。。
不懂。。神特么看了1天这个题。

//109ms 13392kb
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
const int N=150005,M=N<<1;int n,m,P,Enum,H[N],nxt[M],to[M],dir[M],fir[N],dgr[N],len[2],cnt[N<<2][2],sum[N<<2][2];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;inline int read()
{int now=0;register char c=gc();for(;!isdigit(c);c=gc());for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());return now;
}
#define AddEdge(u,v,d) to[++Enum]=v,nxt[Enum]=H[u],H[u]=Enum,dir[Enum]=d
void DFS(int x,int dis,bool las,bool direct)//las=0:从x的最长边来(原图中x下一步走最长边)，那么到x的不是x最长边连的点
{if(!las) ++cnt[dis][direct];for(int v,i=H[x]; i; i=nxt[i])if((!las&&((v=to[i])!=fir[x]||dgr[x]==1))||(las&&(v=to[i])==fir[x])){if(v==P && dir[i]==direct)//以direct的方向回到P len[direct]=dis+1;//不能return，还有其它到x的点要统计！else DFS(v,dis+1,dir[i],direct);}
}int main()
{n=read(), m=read(), P=read();for(int u,v; m--; ){u=read(), v=read();if(!dgr[u]) AddEdge(v,u,0), fir[u]=v, ++dgr[u];else if(dgr[u]==1) AddEdge(v,u,1), ++dgr[u];if(!dgr[v]) AddEdge(u,v,0), fir[v]=u, ++dgr[v];else if(dgr[v]==1) AddEdge(u,v,1), ++dgr[v];}DFS(P,0,0,0);if(dgr[P]>1) DFS(P,0,1,1);int tot=n<<2, l0=len[0], l1=len[1];for(int i=0; i<tot; ++i){sum[i][0]+=cnt[i][0], sum[i][1]+=cnt[i][1];if(l0 && i+l0<tot) sum[i+l0][0]+=sum[i][0];if(l1 && i+l1<tot) sum[i+l1][1]+=sum[i][1];}for(int Q=read(),K,t0=l0?2*n/l0*l0:0,t1=l1?2*n/l1*l1:0; Q--; ){if((K=read())<tot) printf("%d ",sum[K][0]+sum[K][1]);else printf("%d ",(t0?sum[K%l0+t0][0]:0)+(t1?sum[K%l1+t1][1]:0));}return 0;
}

B 归来(Tarjan 拓扑)

题目链接

将每种状态转移暴力连边，得到一张有向图，最长路就是答案。
同一强连通分量的点是可以任意转移的，对其缩点后得到DAG，拓扑/记忆化都可以求。\(O(4^n*m)\)，期望得分30~50.
注意到交换是任意的，所以只需要关心当前串每种字符的个数。
对于分别有a,b,c,d个A,B,C,D的串，其个数/排列数为\(\frac{n!}{a!b!c!d!}\)，但是直接算阶乘是爆longlong的。
最大的时候是\(\frac{n!}{7!7!8!8!}\approx 6e15\)，所以直接用组合数\(C_n^a*C_{n-a}^b*C_{n-a-b}^c\)是不会爆longlong的。
总点数是\(C_{30+4-1}^{4-1}=5456\)。同样对状态连边，缩点求最长路。
复杂度\(O(n^3m)\)。

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define MAXIN 10000
//#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
#define ID(a,b,c) (((a)*nn+(b))*nn+(c))//括号啊！！
typedef long long LL;
const int N=30005,M=810005;//n^3mint n,nn,tot,m,cnt,top,sk[N],Index,dfn[N],low[N],bel[N];
bool ins[N];
LL val[N],sz[N],f[N];
std::queue<int> q;
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct Graph
{int Enum,H[N],nxt[M],to[M],dgr[N];inline void AddEdge(int u,int v){++dgr[v], to[++Enum]=v, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum;}
}G,D;inline int read()
{int now=0;register char c=gc();for(;!isdigit(c);c=gc());for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());return now;
}
inline void Get(int *num)
{register char c=gc();for(; !isalpha(c); c=gc());for(; isalpha(c); ++num[c-'A'],c=gc());
}
void Init_val()
{static LL C[35][35];C[0][0]=1;for(int i=1; i<=n; ++i){C[i][0]=C[i][i]=1;for(int j=1; j<i; ++j) C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];}for(int a=0; a<=n; ++a)for(int b=0; a+b<=n; ++b)for(int c=0; a+b+c<=n; ++c)val[ID(a,b,c)]=C[n][a]*C[n-a][b]*C[n-a-b][c];
}
void Tarjan(int x)
{dfn[x]=low[x]=++Index, sk[++top]=x, ins[x]=1;for(int i=G.H[x],v; i; i=G.nxt[i])if(!dfn[v=G.to[i]]) Tarjan(v), low[x]=std::min(low[x],low[v]);else if(ins[v]) low[x]=std::min(low[x],dfn[v]);if(dfn[x]==low[x]){++cnt; int tmp;do{tmp=sk[top--];sz[cnt]+=val[tmp], ins[tmp]=0, bel[tmp]=cnt;}while(tmp!=x);}
}
void Toposort()
{LL ans=0;for(int i=1; i<=cnt; ++i) if(!D.dgr[i]) q.push(i);while(!q.empty()){int x=q.front(); q.pop();f[x]+=sz[x], ans=std::max(ans,f[x]);for(int i=D.H[x],v; i; i=D.nxt[i]){f[v=D.to[i]]=std::max(f[v],f[x]);if(!--D.dgr[v]) q.push(v);}}printf("%lld\n",ans);
}int main()
{
//  freopen("ex_return3.in","r",stdin);n=read(), m=read(), nn=n+1, tot=n*nn*nn;for(int i=1; i<=m; ++i){int num1[4]={0,0,0,0},num2[4]={0,0,0,0};Get(num1), Get(num2);if(num1[0]==num2[0]&&num1[1]==num2[1]&&num1[2]==num2[2]) continue;for(int a=num1[0]; a<=n; ++a)//枚举所有含Ai的串啊 for(int b=num1[1]; a+b<=n; ++b)for(int c=num1[2]; a+b+c<=n; ++c){if(n-a-b-c<num1[3]) break;G.AddEdge(ID(a,b,c),ID(a-num1[0]+num2[0],b-num1[1]+num2[1],c-num1[2]+num2[2]));}}Init_val();for(int i=0; i<=tot; ++i) if(!dfn[i]) Tarjan(i);//从0开始！(全D)for(int x=0,now=bel[x]; x<=tot; now=bel[++x])for(int i=G.H[x],v; i; i=G.nxt[i])if(now!=bel[G.to[i]]) D.AddEdge(now,bel[G.to[i]]);//正反当然没关系啊 Toposort();return 0;
}

C 机场(凸函数 点分治)

题目链接

为什么函数是凸的，是有位置使得\(f'(0)<0\)。。

判断凹凸性还是去求二次导吧。

80pts代码：

/*
y=x^{3/2}是凸函数，所以$f(x)=\sum_{i=1}^n w[i]dis(x,i)^{3/2}$也(应该)是凸的。
凸函数有个性质：局部最优解就是全局最优解。
所以我们从任意一个点DFS，每次走到答案最小的儿子，一定能找到最优解。
每次直接跳到子树的重心，复杂度就是O(ndlogn)了（d是点的出度）。
期望得分80(注意不要DFS太多点)。
*/
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
const int N=2e5+5;int n,W[N],Enum,H[N],nxt[N<<1],to[N<<1],len[N<<1],dis[N],root,Min,sz[N],Cnt;
double Ans,Sum,f[N];
bool vis[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;inline int read()
{int now=0;register char c=gc();for(;!isdigit(c);c=gc());for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());return now;
}
inline void AddEdge(int w,int u,int v)
{to[++Enum]=v, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum, len[Enum]=w;to[++Enum]=u, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum, len[Enum]=w;
}
void Calc(int x,int f,int d)
{Sum+=1.0*d*sqrt(d)*W[x];//pow(d,1.5)for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])if(to[i]!=f) Calc(to[i],x,d+len[i]);
}
void Get_root(int x,int f,int tot)
{int mx=0; sz[x]=1;for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])if(!vis[v=to[i]]&&v!=f){Get_root(v,x,tot), sz[x]+=sz[v];if(sz[v]>mx) mx=sz[v];}mx=std::max(mx,tot-sz[x]);if(mx<Min) Min=mx, root=x;
}
void Solve(int x)
{vis[x]=1; double ans=Ans; int p=0;for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i]){if(!f[v=to[i]])if(++Cnt>700) f[v]=Ans;//全DFS要T啊 else Sum=0, Calc(v,0,0), f[v]=Sum;if(ans>f[v]) ans=f[p=v];}Ans=std::min(Ans,ans);if(p) Min=N, Get_root(p,0,sz[p]), Solve(root);
}int main()
{
//  freopen("ex_airport2.in","r",stdin);n=read();for(int i=1; i<=n; ++i) W[i]=read();for(int i=1; i<n; ++i) AddEdge(read(),read(),read());Min=N, Get_root(1,0,n), Calc(root,0,0), f[root]=Ans=Sum, Solve(root);printf("%.7lf\n",Ans);return 0;
}

考试代码

A

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
const int N=150005;int n,m,P,Q,K[2005],dgr[N],dis[N][2],ans[N];
std::vector<int> e[N];#define AddEdge(u,v) e[u].push_back(v)
inline int read()
{int now=0;register char c=gc();for(;!isdigit(c);c=gc());for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());return now;
}
namespace Subtask1
{int n,m,pre[N],pos[N];void Main(){for(int Q=read(); Q--; ){int K=read();for(int i=1; i<=n; ++i) pos[i]=i, pre[i]=0;while(K--){for(int x=1,p; x<=n; ++x){p=pos[x];if(dgr[p]==1||e[p][0]!=pre[x]) pre[x]=p, pos[x]=e[p][0];else pre[x]=p, pos[x]=e[p][1];}}int res=0;for(int i=1; i<=n; ++i) if(pos[i]==P) ++res;//printf("%d ",i-1), ++res; putchar('\n');printf("%d ",res);// putchar('\n');}}
}
//int DFS(int x,int f,int d,int anc,int toward)
//{
//  if(x==P) ans[anc]=d;
//  if(dis[x][toward]) return d+dis[x][toward];
//  printf("DFS(%d,%d,%d,%d)\n",x,f,d,anc);
//  if(dgr[x]==1||e[x][0]!=f)
//  {
//      if(x==anc&&d) return d;
//      return DFS(e[x][0],x,d+1,anc,0);if(!dis[x][0]) dis[x][0]=DFS(e[x][0],x,d+1,x);return d+dis[x][0];
//  }
//  else
//  {
//      return DFS(e[x][1],x,d+1,anc,1);if(!dis[x][1]) dis[x][1]=DFS(e[x][1],x,d+1,x);return d+dis[x][1];
//  }
//}int main()
{freopen("ex_garden2.in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);n=read(), m=read(), P=read()+1;for(int i=1,u,v; i<=m; ++i){u=read()+1, v=read()+1;if(dgr[u]<2) ++dgr[u], AddEdge(u,v);if(dgr[v]<2) ++dgr[v], AddEdge(v,u);}if(n<=1000) {Subtask1::n=n, Subtask1::m=m, Subtask1::Main(); return 0;}//  for(int i=1; i<=n; ++i) if(!dis[i][0]) dis[i][0]=DFS(i,i,0,i,0);
//  for(int i=1; i<=n; ++i) printf("dis[%d]: 0:%d 1:%d\n",i-1,dis[i][0],dis[i][1]);
//  for(int Q=read(),K; Q--; )
//  {
//      K=read();
//
//  }return 0;
}

B

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=10004,M=2e6+5;int n,m,len[N];
char s[N],A[N][N],B[N][N];namespace Subtask1
{int cnt,Enum,H[N],nxt[M],to[M],dgr[N],val[N];char s[N];bool vis[N];std::queue<int> q;inline bool OK(int p,int l,char *t){for(int i=1; i<=l; ++i) if(s[p+i]!=t[i]) return 0;return 1;}inline int Encode(char *s){int res=0;for(int i=1; i<=n; ++i) res=(res<<2)+(s[i]-'A');return res;}inline void AddEdge(int u,int v){++dgr[u], to[++Enum]=u, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum;}void Init_S(int now){if(now>n){int hs=Encode(s),hs2;
//          printf("%s:%d\n",s+1,hs);for(int i=1; i<n; ++i)if(s[i]!=s[i+1])std::swap(s[i],s[i+1]), hs2=Encode(s), AddEdge(hs,hs2), std::swap(s[i],s[i+1]);for(int p=0; p<n; ++p)for(int i=1; i<=m; ++i)if(p+len[i]<=n && OK(p,len[i],A[i])){
//                      printf("%s->",s+1);for(int j=1; j<=len[i]; ++j) s[p+j]=B[i][j];
//                      printf("%s\n",s+1);hs2=Encode(s), AddEdge(hs,hs2);for(int j=1; j<=len[i]; ++j) s[p+j]=A[i][j];}}else for(int i=0; i<4; ++i) s[now]='A'+i, Init_S(now+1);}void DFS(int x){vis[x]=1, ++cnt;for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])if(!vis[to[i]]) DFS(to[i]);}void Main(){Init_S(1); char tmp[7]={"DDDDDD"};int tot=Encode(tmp);for(int i=0; i<=tot; ++i) val[i]=1;for(int i=0; i<=tot; ++i) if(!dgr[i]) q.push(i);for(int i=0; i<=tot; ++i) if(dgr[i]==1) q.push(i);int res=0;while(!q.empty()){int x=q.front(); q.pop();res=std::max(res,val[x]);
//          printf("now:%d\n",x);for(int v,i=H[x]; i; i=nxt[i])if(dgr[v=to[i]]>1){val[v]=std::max(val[v],val[x]+1);res=std::max(res,val[v]);
//                  printf("%d->%d val:%d\n",x,v,val[v]);if(!--dgr[v]||dgr[v]==1) q.push(v);}}for(int i=0; i<=tot; ++i)if(!vis[i]) cnt=0, DFS(i), res=std::max(res,cnt);printf("%d\n",res);}
}int main()
{
//  freopen("ex_return2.in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1; i<=m; ++i) scanf("%s%s",A[i]+1,B[i]+1), len[i]=strlen(A[i]+1);if(n<=5) Subtask1::Main();
//  printf("%lld\n",Ans);return 0;
}

C

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
//#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
const int N=2e5+5;int n,W[N],Enum,H[N],nxt[N<<1],to[N<<1],len[N<<1],dis[N];
double Ans;
std::pair<int,int> A[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;inline int read()
{int now=0;register char c=gc();for(;!isdigit(c);c=gc());for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());return now;
}
inline void AddEdge(int w,int u,int v)
{to[++Enum]=v, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum, len[Enum]=w;to[++Enum]=u, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum, len[Enum]=w;
}
void DFS(int x,int f,int d)
{Ans+=1.0*pow(d,1.5)*W[x];for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])if(to[i]!=f) DFS(to[i],x,d+len[i]);
}int main()
{
//  freopen("ex_airport2.in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);n=read();for(int i=1; i<=n; ++i) W[i]=read();for(int i=1; i<n; ++i) AddEdge(read(),read(),read());double res=1e18;if(n<=5000){for(int i=1; i<=n; ++i)Ans=0, DFS(i,i,0), res=std::min(res,Ans);}else{for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=std::make_pair(W[i],i);std::sort(A+1,A+1+n,std::greater<std::pair<int,int> >());for(int T=1,v; T<=250; ++T)Ans=0, DFS(A[T].second,A[T].second,0), res=std::min(res,Ans);}printf("%.7lf\n",res);return 0;
}