5G NR LDPC码（1）—— LDPC码设计原理

5G NR中规定了控制消息和广播信道用Polar码，数据传输用LDPC码的方案。

LDPC属于线性分组码，常用校验矩阵或者Tanner图来描述。

用校验矩阵来描述LDPC码，可以清晰的看到信息比特和校验比特之间的约束关系，在编码过程中使用较多。
Tanner图把校验节点和变量节点分为两个集合，然后通过校验方程的约束关系连接校验节点和变量节点。如果为1，则有连线。圆圈为变量节点，方框代表校验方程。

LDPC为低密度奇偶校验编码，校验矩阵一般是一个稀疏矩阵，即其中只有一小部分元素是1，其余元素皆为0。对于校验矩阵为H的LDPC码，其码字c满足Hc=0。定义列重为 i 的列所占的比例为vi，行重为 i 的行所占的比例为hi，称为度分布。
LDPC码基于消息传递算法进行译码，校验矩阵的稀疏性保证了译码算法复杂度随着码长线性增长。

LDPC码设计原理

LDPC码的校验矩阵或Tanner图决定了其性能。消息传递算法可以理解为在Tanner图上传递消息的过程，这些消息代表码字中编码比特值的概率分布。通过跟踪Tanner图上传递的消息，采用密度演进算法可以估计LDPC码的性能。另一方面，在实际应用中，LDPC码必须以低复杂度的描述和编译码来实现，支持灵活的资源调度和重传。随着LDPC码技术的发展，一些重要的技术特性涌现以满足这些需求。比如，RL（Raptor Like）结构的出现使得LDPC码可以很好的支持多码率、多码长以及增量冗余混合自动重传请求（IR-HARQ，Incremental Redundancy Hybrid Automatic Repeat request）；准循环（Quasi-Cyclic）结构使LDPC码的低复杂度、高吞吐的编译码器易于实现。针对这些关键技术，本节介绍LDPC码的设计原理。

1. 消息传递算法与密度演进

（1）消息传递算法

将Tanner图加以推广，可以得到更一般的因子图，用来描述多变量函数的结构，校验节点在因子图中称为函数节点，如果变量节点是某个因子函数（检验方程）的自变量，那么在因子图上各变量节点和函数节点之间通过一条边连接。
求解边缘函数时，利用因子图将一个复杂任务分解成多个子任务，每个子任务对应到因子图上的一个函数节点，这使得计算时不需要因子图其他部分的消息，且传送其计算结果仅由这些局部函数的自变量来承担，从而简化计算。计算边缘函数需要计算乘积和求和，所以基于因子图的这种计算边缘函数的算法也叫做和积（SP，Sum-Product）算法。
在LDPC码的译码过程中，消息传递算法计算的是每个比特的后验概率（Posterior Probability），输入是来自于解调模块的各比特的先验概率(Prior Probability)，传递的是编码比特的概率分布，如LLR。对于无环的因子图，一次消息传递就可以求出所有变量节点的边缘函数。对于有环的因子图，需要通过多次迭代计算，才能逼近变量节点的边缘函数。 LDPC码的校验矩阵中一般都有环存在,所以消息传递算法是一种次优的逼近最大后验概率(MAP，Maximum A Posteriori)的算法。在设计LDPC码校验矩阵的过程中，增大最小环的环围(girth) ，使得消息传递译码过程中传递消息的相关度降低，是提升LDPC码性能的技术之一。

（2）密度演进

密度演进算法通过跟踪消息传递过程，可以评估校验矩阵的性能，以指导LDPC码的设计。在消息传递算法中，变量节点到校验节点之间传递的消息是编码比特为1或者0的LLR，其概率密度函数可以表征LDPC码的性能。
假设所有的消息概率密度分布是相互独立的，即信道是无记忆的。根据变量节点向校验节点的消息传递公式，输出消息的概率密度函数可以通过卷积获得。
由于密度演进算法需要非常复杂的概率密度函数计算，往往假设LLR服从高斯分布。由于高斯分布的卷积仍然是高斯分布，这近似使得密度演进算法只需要追踪随机变量均值和方差的变化即可。密度演进算法可以计算出服从某种度分布的校验矩阵的译码门限，进而评估这种度分布情况下LDPC码的性能。

2. 速率匹配/HARQ

为了支持灵活调度和提升系统吞吐量，LDPC码需要支持多码率编码和IR-HARQ。

一种方案与Turbo码类似，即先编码得到一个低码率(如LTE Turbo码采用1/3) 的母码，然后通过打孔实现高码率。当需要重传时，重传打孔比特以实现IR-HARQ。该方案使LDPC码和打孔方案的设计复杂度都很高。
LT码和Raptor 码的出现提供了另一种方案：Raptor-Like 结构的LDPC码(RL-LDPC)。RL-LDPC码先设计一个高码率的校验矩阵，然后通过扩展校验矩阵以增量产生校验比特，实现多码率编码，重传扩展的校验比特即实现了对IR-HARQ的支持。
在LDPC码的设计中，瀑布区(Waterfal Region,此区域内译码错误奉随信噪比增加快速降低)的性能和错误平层是一对矛盾。往往瀑布区较好的矩阵具有较高的错误平层，具有较低错误平层的矩阵瀑布区性能较差。

3. QC-LDPC码

支持多种信息块大小是LDPC码实用化的另一个设计要求。

如果直接根据信息块大小设计LDPC码的校验矩阵，则需要非常多个校验矩阵以满足5GNR调度的信息块颗粒度的需求，这对于LDPC码的描还和编译码实现都不可行。QC-LDPC 码的提出使这个问题得以解决。
QC-LDPC码是一类结构化的 LDPC码，其校验矩阵可以分解为ZxZ的全零矩阵和循环移位矩阵。其中循环移位矩阵通过对ZxZ的单位矩阵向右循环移位获得。扩展之前的矩阵称为基矩阵[对应的Tanner图称为基图(BG， Base Graph)]，只包含元素“0”和“I”。“0” 的位置替换为ZxZ的全零矩阵，“1” 的位置替换为ZXZ的循环移位矩阵。
QC-LDPC码的设计

首先确定一个mxn的稀疏矩阵作为BG，然后复制这个BG，复制的倍数为Z，即矩阵变为mZxnZ。复制之后，对变量节点和校验节点之间的连线进行交织(这里是循环移位)，构成校验矩阵。已经证明，通过优化设计mxn的BG，可以保证扩展之后的mZxnZ校验矩阵拥有较好的性能。BG的设计过程可以采用常规的LDPC码设计方法，比如通过密度演进算法挑选具有较好译码门限的BG。
QC-LDPC码的优点

第一，通过分析BG就可以对校验矩阵的性能有大致的了解。

第二，描述复杂度低。对于传统的LDPC码，当其需要支持较长的消息序列时，校验矩阵的规模巨大。然而对于QC-LDPC码，只需要描述BG中非0元素的位置和相应的循环移位大小即可。

第三，编译码复杂度低。由于其采用ZxzZ的循环移位矩阵，所以编码时可以实现并行度为Z的编码过程，译码时可以实现Z个校验方程相关消息的同时更新和传递，可以大大提升LDPC码译码器的吞吐量。