「 SLAM lesson-3.4 」欧拉角度定义、应用、缺点

结合 高翔老师的著作《视觉SLAM十四讲：从理论到实践》，加上小白的工程经验共同完成。建议作为笔记功能反复使用。

一、欧拉角的定义

无论是旋转向量还是旋转矩阵，虽然它们能描述旋转，但对我们人类来说是非常不直观的。当我们看到它们时，很难想象出这个旋转究竟是什么样的。而欧拉角则提供了一种非常直观的方式来描述旋转——它使用了三个分离的转角，把一个旋转分解成三次绕不同轴的旋转。

由于分解方式有很多种，所以欧拉角也存在着不同的定义方法。比如说，当我们先绕 X 轴旋转，再绕 Y 轴旋转，最后绕 Z 轴旋转，就得到了一个 XYZ 轴的旋转。如果讨论更细一些，还需要区分每次旋转是绕固定轴旋转的，还是绕旋转之后的轴旋转的。

二、"偏航-俯仰-滚转"

欧拉角当中比较常用的一种，便是用“偏航-俯仰-滚转”（yaw-pitch-roll）三个角度来描述一个旋转的。由于它等价于 ZYX 轴的旋转，我们就可以以 ZYX 为例。假设一个刚体的前方（朝向我们的方向）为X轴，右侧为Y轴，上方为Z轴，那么，ZYX 转角相当于把任意旋转分解成以下三个轴上的转角：

绕物体的 Z 轴旋转，得到偏航角 yaw；
绕旋转之后的Y轴旋转，得到俯仰角 pitch；
绕旋转之后的Z轴旋转，得到滚转角 roll；

此时，我们可以使用 $\begin{Bmatrix} r\\ p\\ y \end{Bmatrix}$ 这样一个三维的向量描述任意旋转。这个向量十分的直观，我们可以从这个向量想象出旋转的过程。 rpy角的旋转顺序是ZYX。

三、欧拉角的缺点

欧拉角的一个重大缺点是会碰到著名的万向锁问题（Gimbal Lock）：在俯仰角为 $\pm 90$ °时，第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴，使得系统丢失了一个自由度（由三次旋转变成了两次旋转）。理论上可以证明，只要我们想用三个实数来表达三维旋转时，都会不可避免地碰到奇异性的问题。由于这种原因，欧拉角不适于插值和迭代，往往只用在人机交互中。

我们也很少在SLAM程序中直接使用欧拉角表示姿态，同样不会在滤波或优化中使用欧拉角表示旋转（因为它具有奇异性）。不过，若你想验证自己的算法是否有错时，转换成欧拉角能够快速辨认结果的正确与否。

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