poj2976（0-1 分数规划）

题意

给定n个二元组 ( a i , b i ) (a_{i},b_{i}) (ai,bi)除去n个，剩下的n-k组成集合S作 ∑ i ∈ S a i ∑ i ∈ S b i \frac{\sum_{i\in S}a_{i}}{\sum_{i\in S}b_{i}} ∑i∈Sbi∑i∈Sai使其达到最大，原题还让将其取到最近整数！

0-1分数规划

这道题是一道很典型的0-1分数规划，网上的资源看了许多，但是好像没有人介绍在求解答案的时候二分的依据，也没有人解释为何要求解max(F(L))，在这里，我将给出解释。
首先还是对整个算法大概做个描述，具体细节一会解释
1.记 F ( L ) = ∑ i = 1 i = n ( a i − L b i ) x i F(L)=\sum_{i=1}^{i=n}(a_{i}-Lb_{i})x_{i} F(L)=∑i=1i=n(ai−Lbi)xi其中 ∑ i = 1 i = n x i = n − k \sum_{i=1}^{i=n}x_{i}=n-k ∑i=1i=nxi=n−k
2.由上面的表达式可以知道对于固定的L使得F(L)最大时即 m a x ( F ( L ) ) max(F(L)) max(F(L))为将 a i − L b i a_{i}-Lb_{i} ai−Lbi进行排序取前n-k大的元素，使其 x i = 1 x_{i}=1 xi=1其余为0，注意这里是在求F(L)的最值，而不是 ∑ i ∈ S a i ∑ i ∈ S b i \frac{\sum_{i\in S}a_{i}}{\sum_{i\in S}b_{i}} ∑i∈Sbi∑i∈Sai的最值，
3.记 m a x （ ∑ i ∈ S a i ∑ i ∈ S b i ） = a n s max（\frac{\sum_{i\in S}a_{i}}{\sum_{i\in S}b_{i}}）=ans max（∑i∈Sbi∑i∈Sai）=ans对L进行二分，
当maxF(L)>0的时候则有L<max,
当maxF(L)<0时，L>max,
于是根据上两条进行二分，直到找到使得max(F(L))的L，此时的L==ans

在这里我们着重解释第3步中的二分的想法是怎么来的，其余未明白部分见大佬文章

好啦下面就开始了

对第3条的分析

1.首先对，“当maxF(L)>0的时候则有L<max”,进行解释

F ( L ) = ∑ i = 1 i = n ( a i x i ) − L ∑ i = 1 i = n ( b i x i ) = C F(L)=\sum_{i=1}^{i=n}(a_{i}x_{i})-L\sum_{i=1}^{i=n}(b_{i}x_{i})=C F(L)=∑i=1i=n(aixi)−L∑i=1i=n(bixi)=C
我们先忘掉上述的结论，重新给出一个结论：
对于某一L，若存在序列 x i x_{i} xi满足其和未n-k，且使得F(L)>0的时候则有L<max，证明如下：
F ( L ) = ∑ i = 1 i = n ( a i x i ) − L ∑ i = 1 i = n ( b i x i ) = C > 0 F(L)=\sum_{i=1}^{i=n}(a_{i}x_{i})-L\sum_{i=1}^{i=n}(b_{i}x_{i})=C>0 F(L)=∑i=1i=n(aixi)−L∑i=1i=n(bixi)=C>0
∑ i = 1 i = n ( a i x i ) = C + L ∑ i = 1 i = n ( b i x i ) \sum_{i=1}^{i=n}(a_{i}x_{i})=C+L\sum_{i=1}^{i=n}(b_{i}x_{i}) ∑i=1i=n(aixi)=C+L∑i=1i=n(bixi)
∑ i = 1 i = n ( a i x i ) ∑ i = 1 i = n ( b i x i ) = C ∑ i = 1 i = n ( b i x i ) + L = D \frac{\sum_{i=1}^{i=n}(a_{i}x_{i})}{\sum_{i=1}^{i=n}(b_{i}x_{i})}=\frac{C}{\sum_{i=1}^{i=n}(b_{i}x_{i})}+L=D ∑i=1i=n(bixi)∑i=1i=n(aixi)=∑i=1i=n(bixi)C+L=D
根据上式，可以发现，存在xi使得表达式 ∑ i = 1 i = n ( a i x i ) ∑ i = 1 i = n ( b i x i ) \frac{\sum_{i=1}^{i=n}(a_{i}x_{i})}{\sum_{i=1}^{i=n}(b_{i}x_{i})} ∑i=1i=n(bixi)∑i=1i=n(aixi)的值D>L，于是L比目标表达式最值max要小，因为max(F(L))>F(L),若存在xi使得F(L)>0,则根据不等式传递性必有max(F(L))>F(L)>0，并且使用max(F(L))在判断下面证明也能用到，节约了代码量！

2.接下来对"当maxF(L)<0的时候则有L>max"解释

F(L)<maxF(L)<0,则可以知道对所有 x i x_{i} xi有 F ( L ) = ∑ i = 1 i = n ( a i x i ) − L ∑ i = 1 i = n ( b i x i ) = C < 0 F(L)=\sum_{i=1}^{i=n}(a_{i}x_{i})-L\sum_{i=1}^{i=n}(b_{i}x_{i})=C<0 F(L)=∑i=1i=n(aixi)−L∑i=1i=n(bixi)=C<0,
对等式按照上面的方式进行变形
∑ i = 1 i = n ( a i x i ) ∑ i = 1 i = n ( b i x i ) = C ∑ i = 1 i = n ( b i x i ) + L = D < L \frac{\sum_{i=1}^{i=n}(a_{i}x_{i})}{\sum_{i=1}^{i=n}(b_{i}x_{i})}=\frac{C}{\sum_{i=1}^{i=n}(b_{i}x_{i})}+L=D<L ∑i=1i=n(bixi)∑i=1i=n(aixi)=∑i=1i=n(bixi)C+L=D<L对任意 x i x_{i} xi成立，对于使得 ∑ i = 1 i = n ( a i x i ) ∑ i = 1 i = n ( b i x i ) \frac{\sum_{i=1}^{i=n}(a_{i}x_{i})}{\sum_{i=1}^{i=n}(b_{i}x_{i})} ∑i=1i=n(bixi)∑i=1i=n(aixi)取的最大值max得 x i x_{i} xi也有max<L

有了1,2得判据,就可以根据二分法进而得出答案了.

代码如下:

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define maxsize 1004
using namespace std;
int n,k;
double a[maxsize],b[maxsize];
bool justify(double r)
{double d[maxsize];for(int i=0;i<n;i++){d[i]=a[i]-r*b[i];// cout<<d[i]<<endl;}sort(d,d+n);double sum=0;for(int i=k;i<n;i++)sum+=d[i];// cout<<sum<<endl;return sum>0;
}
int main()
{// freopen("ini","r",stdin); while(~scanf("%d%d",&n,&k)&&(n!=0||k!=0)){for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&a[i]);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&b[i]);double l=0,r=1;while(fabs(r-l)>1e-6){double mid=(l+r)/2;if(justify(mid))l=mid;else r=mid;}int ans=(int)((r+0.005)*100);cout<<ans<<endl;}return 0;
}