数学中考常见题型，求圆中线段的长

各位朋友，大家好！近来一段时间，数学世界将持续为大家分享初中数学题，希望笔者的分析与讲解能够为广大初中生学好数学提供一些帮助！今天，数学世界分享一道有关圆和相似三角形的综合题，涉及平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识。

一直以来，数学世界都是精心选择一些数学题分享给大家，目的是希望由此激发学生们对数学这门课程的兴趣，并能给广大学生的学习提供一点帮助！接下来，数学世界就与大家一起来看题目吧！

例题：（初中数学综合题）如图，ABD内接于半径为5的O，连结AO并延长交BD于点M，交O于点C，过点A作AEBD，交CD的延长线于点E，且AB=AM．
（1）求证：ABMECA．
（2）当CM=4OM时，求BM的长.

知识回顾
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。
推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。

分析：（1）由AEBD，可得∠AMB=∠CAE，又圆周角∠ABD=∠ACD，根据两角对应相等的两个三角形相似即可得证．
（2）根据AB=AM可以得出EA=EC，DM=DC，在根据AEBD，利用平行线分线段成比例定理以及勾股定理求出DM和DC，再利用相似三角形的性质即可求出BM的长．
请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！

解答：（以下过程可以部分调整）
证明：（1）AEBD，
∴∠AMB=∠CAE，
又∠ABD=∠ACD，（圆周角）
∴ABMECA.

（2）解：AB=AM，
∴∠AMB=∠ABD，
∠CAE=∠ACE，
∴AE=CE，
CM=4OM，设OM=k，则CM=4k，
∴OA=OC=5k=5，
∴k=1，
∴CM=4，AM=6，CA=10，
DMAE，
∴DM：AE=CM：CA=4：10，
设DM=4a，则EA=EC=10a，
AB=AM，
∴∠ABM=∠AMB，
∠AMB=∠DMC，∠ABM=∠C，
∴∠DMC=∠C，
∴DM=DC=4a，
∴DE=EC-DC=6a，
AC是直径，
∴∠ADE=∠ADC=90°，
∴AD^2=AE2?DE^2，
∴AD=8m，
AD^2+CD2=AC^2，
∴（8m）^2+（4m）2=10^2
a＞0，
∴a=√5/2，
∴DM=2√5，
AMBDMC，
∴BM/CM=AM/DM，
∴BM/4=6/（2√5），
∴BM=12√5/5.
（完毕）

这道题属于综合题，考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是巧妙利用参数构建方程解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。

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