矩阵乘法结合律的理解

矩阵相似是同一个变换在不同基下的描述。

参考： https://spaces.ac.cn/archives/1777

这篇文章给出了关于矩阵相似的比较直观的理解，

“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”

同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。

这个不同的矩阵，就是前面那个矩阵的相似矩阵。aa 这两个矩阵建立在不同的基上。

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参考知乎： https://www.zhihu.com/question/23056495/answer/297355273

比较好理解并记忆的方式是：矩阵的乘法本质上就是线性变换,

(AB)C·x表示对某个向量x先进行C变换，再进行AB变换，其中AB变换是先进行B变换，再进行A变换的一个组合变换；

A(BC)表示先对某个向量x进行BC变换，其中BC变换是先进行C变换，再进行B变换的组合变换，然后BC组合变换后再进行A变换。

不管你怎么定义组合变换，最终x向量经历的变换都是C->B->A，所以括号随便加。更详细的解答可以看【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集(14)

.矩阵乘法满足结合律,在不改变矩阵顺序的条件下可以任意加括号,不影响最后结果.

adaffa

我觉得不必要扯那么玄乎，最简单从定义上就可以理解。

$(A\times B)\times C = \sum_{l}(\sum_{k}A_{ik}\cdot B_{kl})\cdot C_{lj}$
$A\times (B\times C) = \sum_{k}A_{ik}\cdot (\sum_{l}B_{kl}\cdot C_{lj})$

上面两式子都等于
$\sum_{k}\sum_{l}A_{ik}\cdot B_{kl}\cdot C_{lj}$

所以我觉得可以说“矩阵结合律”本质上就是“独立指标求和顺序无关”。

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