1.题目

给定一个长度为 N 的数列，A₁,A₂,…A_N，如果其中一段连续的子序列 A_i,A_i+1,…A_j 之和是 K 的倍数，我们就称这个区间 [i,j] 是 K 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K 倍区间吗？

输入格式
第一行包含两个整数 N 和 K。

以下 N 行每行包含一个整数 A_i。

输出格式
输出一个整数，代表 K 倍区间的数目。

数据范围
1 ≤ N , K ≤ 100000 , 1≤N,K≤100000, 1≤N,K≤100000,
1 ≤ A i ≤ 100000 1≤Ai≤100000 1≤Ai≤100000

输入样例：

5 2
1
2
3
4
5

输出样例：

6

2.基本思想

1.暴力枚举时间超时，考虑优化！

2.前缀和优化到n方不够，考虑继续优化！

3.前缀和+数学

分析：
求区间[l,r]的和是k的倍数的个数。求区间和，我们可以通过前缀和来求出。我们规定s[i]表示第1个元素到第i个元素的和。

前缀和 O(n^2)
预处理一下数组 a [ ] a[] a[]，将前缀和存入 s [ ] s[] s[]中，每次查询就只需要O(1)的时间

for(int i = 1; i <= n; i ++) s[i] = s[i - 1] + a[i]; // 求前缀和for(int r = 1; r <= n; r ++)for(int l = 1; l <= r; l ++)if((s[r] - s[l - 1]) % k == 0) ans ++;

但是这个时间还是会炸，所以还需要优化一层。

数学 O(n)
第二层循环的作用是枚举左端点，写出来就是(s[r] - s[0, r - 1]) % k = 0,当这个条件成立答案就加一。

化简: s[r]%k≡s[0,r−1]%k
现在这个式子就是：在模k的情况下，之前所有点和当前点有都少个相等。
因而再开一个额外的数组 c n t [ ] cnt[] cnt[]记录每个前缀和取余 k k k的余数的数量，遍历一遍就行。

3.代码实现

朴素作法：暴力枚举 O(N^3)

import java.util.Scanner;public class _1230K倍区间 {static Scanner sc = new Scanner(System.in);static int A[] = new int[100010];public static void main(String[] args) {int N = sc.nextInt();int K = sc.nextInt();int res = 0;for (int i = 1; i <= N; i++)A[i] = sc.nextInt();for (int R = 1; R <= N; R++) {//枚举右端点for (int L = 1; L <= R; L++) {//枚举左端点int sum =0;for (int i = L; i <= R; i++) {sum += A[i];}if (sum % K == 0) res++;}}System.out.println(res);}
}

优化二：二维前缀和优化 O（N^2）

import java.util.Scanner;public class _1230K倍区间 {static Scanner sc = new Scanner(System.in);static int s[] = new int[100010];public static void main(String[] args) {int N = sc.nextInt();int K = sc.nextInt();//处理二维前缀和数组for (int i = 1; i <= N; i++)s[i] =s[i-1]+sc.nextInt();int res = 0;for (int R = 1; R <= N; R++) {//枚举右端点for (int L = 1; L <= R; L++) {//枚举左端点int sum = s[R] - s[L - 1];if (sum % K == 0) res++;}}System.out.println(res);}
}

优化三：前缀和+存余数 O（N）

import java.util.Scanner;import java.util.Scanner;public class Main {static Scanner sc = new Scanner(System.in);static long s[] = new long[100010];// 前缀和数组 要开成long 防止爆intstatic int[] cnt = new int[100010];//存每个余数的个数数组public static void main(String[] args) {int N = sc.nextInt();int K = sc.nextInt();//处理前缀和数组for (int i = 1; i <= N; i++)s[i] = s[i - 1] + sc.nextInt();long res = 0;// cnt[0] = 1;//因为上面化简得到的L的取值范围是[0, r - 1]； cnt[0]中存的是s[]中等于0的数的个数 由于s[0] = 0 所以最初等于0的有1个数for (int i = 0; i <= N; i++) {//上面初始化cnt[0] = 1  i只需从 1开始res += cnt[(int) (s[i] % K)];cnt[(int) (s[i] % K)]++;}System.out.println(res);}
}

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